Номер 4.105, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.105. Цилиндр высотой 6 и радиусом 3 расположен внутри па-раллелепипеда с измерениями 10, 12 и 18. Вычислите вероятность того, что наудачу выбранная точка параллелепипеда окажется внутри цилиндра (рис. 4.44).

Рис. 4.44

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Вероятность того, что точка, случайно выбранная из некоторого тела, попадет в его часть, равна отношению объема этой части к объему всего тела. В нашем случае, искомая вероятность $P$ равна отношению объема цилиндра $V_ц$ к объему параллелепипеда $V_п$.

$P = \frac{V_ц}{V_п}$

1. Вычислим объем прямоугольного параллелепипеда. Его измерения равны $10$, $12$ и $18$. Объем параллелепипеда $V_п$ равен произведению его измерений:

$V_п = 10 \cdot 12 \cdot 18 = 2160$

2. Вычислим объем цилиндра. Его высота $h = 6$, а радиус основания $r = 3$. Объем цилиндра $V_ц$ вычисляется по формуле:

$V_ц = \pi r^2 h$

$V_ц = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$

(Убедимся, что цилиндр может быть расположен внутри параллелепипеда. Высота цилиндра $6$ меньше высоты параллелепипеда $18$. Диаметр основания цилиндра равен $2r = 2 \cdot 3 = 6$, что меньше измерений основания параллелепипеда $10$ и $12$. Следовательно, расположение возможно.)

3. Найдем вероятность $P$, разделив объем цилиндра на объем параллелепипеда:

$P = \frac{V_ц}{V_п} = \frac{54\pi}{2160}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{54}{2160} = \frac{54}{54 \cdot 40} = \frac{1}{40}$

Следовательно, вероятность равна:

$P = \frac{\pi}{40}$

Ответ: $\frac{\pi}{40}$.