Номер 4.110, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.110. Геометрическая модель юрты является комбинацией цилиндра и усеченного конуса (рис. 4.47). По данным на рис. 4.47 найдите площадь боковой поверхности и объем юрты.

Рис. 4.48

Геометрическая модель юрты состоит из двух частей: цилиндрической основы и усеченного конуса (крыши). Найдем площадь боковой поверхности и объем каждой части, а затем сложим их для получения общего результата.

Исходные данные из рисунка:

- Диаметр основания юрты (цилиндра и усеченного конуса): $D = 5$ м. Следовательно, радиус большего основания $R = D/2 = 2.5$ м.

- Высота цилиндрической части: $h_{цил} = 1.45$ м.

- Общая высота юрты: $H_{общ} = 2.3$ м.

- Диаметр верхнего отверстия (меньшего основания усеченного конуса): $d = 1.3$ м. Следовательно, радиус меньшего основания $r = d/2 = 0.65$ м.

- Длина образующей усеченного конуса (крыши): $l = 2$ м.

Общая площадь боковой поверхности юрты $S_{бок}$ равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра $S_{бок.цил}$ и усеченного конуса $S_{бок.кон}$.

$S_{бок} = S_{бок.цил} + S_{бок.кон}$

1. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2 \pi R h_{цил}$.

Подставляем значения:

$S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot 2.5 \cdot 1.45 = 7.25\pi$ м².

2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi (R + r) l$.

Подставляем значения:

$S_{бок.кон} = \pi (2.5 + 0.65) \cdot 2 = \pi \cdot 3.15 \cdot 2 = 6.3\pi$ м².

3. Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 7.25\pi + 6.3\pi = 13.55\pi$ м².

Для получения числового значения, примем $\pi \approx 3.14$:

$S_{бок} \approx 13.55 \cdot 3.14 = 42.547$ м². Округлим до сотых: $42.55$ м².

Ответ: $13.55\pi$ м² $\approx 42.55$ м².

Общий объем юрты $V$ равен сумме объемов цилиндра $V_{цил}$ и усеченного конуса $V_{кон}$.

$V = V_{цил} + V_{кон}$

1. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил}$.

Подставляем значения:

$V_{цил} = \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 1.45 = \pi \cdot 6.25 \cdot 1.45 = 9.0625\pi$ м³.

2. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi h_{кон} (R^2 + Rr + r^2)$.

Сначала найдем высоту усеченного конуса $h_{кон}$:

$h_{кон} = H_{общ} - h_{цил} = 2.3 - 1.45 = 0.85$ м.

Теперь подставим значения в формулу объема:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 0.85 \cdot (2.5^2 + 2.5 \cdot 0.65 + 0.65^2)$

$V_{кон} = \frac{0.85\pi}{3} (6.25 + 1.625 + 0.4225)$

$V_{кон} = \frac{0.85\pi}{3} \cdot 8.2975 = \frac{7.052875\pi}{3}$ м³.

3. Общий объем юрты:

$V = V_{цил} + V_{кон} = 9.0625\pi + \frac{7.052875\pi}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$V = \frac{3 \cdot 9.0625\pi + 7.052875\pi}{3} = \frac{27.1875\pi + 7.052875\pi}{3} = \frac{34.240375\pi}{3}$ м³.

$V \approx 11.413458\pi$ м³.

Для получения числового значения, примем $\pi \approx 3.14$:

$V \approx 11.413 \cdot 3.14 = 35.83522$ м³. Округлим до сотых: $35.84$ м³.

Ответ: $\frac{34.240375\pi}{3}$ м³ $\approx 35.84$ м³.