Номер 4.116, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.116. Высота равностороннего треугольника ABC равна h. Найдите объем тела, полученного вращением этого треугольника вокруг стороны AB (рис. 4.51).

Рис. 4.51

Тело, полученное вращением равностороннего треугольника $ABC$ вокруг стороны $AB$, представляет собой объединение двух одинаковых конусов с общим основанием. Ось вращения, сторона $AB$, является осью симметрии для обоих конусов.

Вершина $C$ треугольника при вращении описывает окружность, которая служит общим основанием для этих двух конусов. Радиус $r$ этого основания равен высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его высоты равны. По условию задачи, высота треугольника равна $h$. Следовательно, радиус основания конусов равен $r = h$.

Высота каждого из двух конусов, обозначим ее $H_{к}$, равна половине длины стороны $AB$. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда высота каждого конуса $H_{к} = \frac{a}{2}$.

Объем всего тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Так как конусы одинаковы, объем тела равен удвоенному объему одного конуса:

$V = 2 \cdot V_{к} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 H_{к} = \frac{2}{3}\pi r^2 H_{к}$

Для вычисления объема необходимо выразить сторону $a$ (а следовательно, и $H_{к}$) через заданную высоту $h$. В равностороннем треугольнике высота $h$, сторона $a$ и половина стороны $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2$

$\frac{3a^2}{4} = h^2$

$a^2 = \frac{4h^2}{3} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Теперь мы можем найти высоту одного конуса $H_{к}$:

$H_{к} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Подставим найденные выражения для радиуса $r=h$ и высоты $H_{к} = \frac{h}{\sqrt{3}}$ в формулу для объема тела вращения:

$V = \frac{2}{3}\pi (h)^2 \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\pi h^3}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{2\pi h^3 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\pi h^3}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}\pi h^3}{9}$

Ответ: $V = \frac{2\sqrt{3}\pi h^3}{9}$.