Номер 4.123, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.123. В шар радиусом $\text{R}$ вписан конус. Из центра шара образующая конуса видна под углом $\phi$. Найдите объем конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. В сечении получим круг радиусом $R$, в который вписан равнобедренный треугольник. Пусть $O$ – центр шара (и круга в сечении), $P$ – вершина конуса, $A$ – точка на окружности основания конуса. Тогда отрезки $OP$ и $OA$ являются радиусами шара, т.е. $OP = OA = R$.

По условию задачи, образующая конуса видна из центра шара под углом $\varphi$. Образующей является отрезок $PA$. Следовательно, в равнобедренном треугольнике $POA$ угол при вершине $O$ равен $\varphi$: $\angle POA = \varphi$.

Найдем высоту $h$ и радиус основания $r$ конуса через $R$ и $\varphi$. Для этого введем систему координат с началом в центре шара $O$. Направим ось $Oy$ вдоль оси симметрии конуса так, чтобы вершина $P$ имела координаты $(0, R)$.

Точка $A$ также лежит на сфере. Вектор $\vec{OA}$ образует угол $\varphi$ с вектором $\vec{OP}$ (который направлен вдоль оси $Oy$). Следовательно, в плоскости сечения координаты точки $A$ будут $(x_A, y_A)$, где $x_A = R\sin\varphi$ и $y_A = R\cos\varphi$.

Радиус основания конуса $r$ равен проекции отрезка $OA$ на плоскость основания, т.е. равен абсциссе точки $A$. Учитывая, что для угла в треугольнике $0 < \varphi < \pi$, $\sin\varphi > 0$.

$r = x_A = R\sin\varphi$

Основание конуса находится в плоскости, перпендикулярной оси $Oy$ и проходящей на расстоянии $y_A$ от центра $O$. Высота конуса $h$ – это расстояние от вершины $P$ до этой плоскости. Координата вершины $P$ по оси $Oy$ равна $R$, а координата плоскости основания – $y_A = R\cos\varphi$.

$h = y_P - y_A = R - R\cos\varphi = R(1 - \cos\varphi)$

Теперь, когда у нас есть выражения для $r$ и $h$, мы можем найти объем конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (R\sin\varphi)^2 \cdot R(1 - \cos\varphi)$

$V = \frac{1}{3}\pi (R^2\sin^2\varphi) \cdot R(1 - \cos\varphi)$

$V = \frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\varphi (1 - \cos\varphi)$

Эту формулу можно также представить в другом виде, используя тождество $\sin^2\varphi = 1 - \cos^2\varphi = (1 - \cos\varphi)(1 + \cos\varphi)$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^3 (1 - \cos\varphi)(1 + \cos\varphi)(1 - \cos\varphi) = \frac{1}{3}\pi R^3 (1 + \cos\varphi)(1 - \cos\varphi)^2$

Оба выражения являются верными.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\varphi (1 - \cos\varphi)$.