Номер 4.119, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.119. Образующая конуса радиусом $\text{R}$ составляет с плоскостью основания угол $\varphi$. Около конуса описана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник. Найдите объем пирамиды, если острый угол ее основания равен $\gamma$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо найти высоту пирамиды и площадь ее основания.

1. Нахождение высоты пирамиды

Так как пирамида описана около конуса, их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник). Это означает, что высота пирамиды $H$ равна высоте конуса $H_к$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника является высотой конуса $H_к$, половина основания — радиусом основания конуса $R$, а боковая сторона — образующей конуса. По условию, образующая составляет с плоскостью основания угол $\phi$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом его основания и образующей, выполняется соотношение:

$\tan(\phi) = \frac{H_к}{R}$

Отсюда выражаем высоту:

$H = H_к = R \tan(\phi)$

2. Нахождение площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Поскольку основание конуса вписано в основание пирамиды, то окружность радиусом $R$ является вписанной в этот прямоугольный треугольник. Таким образом, радиус вписанной окружности $r$ для треугольника в основании равен $R$.

Пусть острые углы этого прямоугольного треугольника равны $\gamma$ и $90^\circ - \gamma$.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр многоугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности. В нашем случае $S_{осн} = p \cdot R$.

Найдем полупериметр $p$. Для этого воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности. Пусть отрезки касательных от вершин с острыми углами равны $x$ и $y$, а от вершины с прямым углом — $z$. Для прямоугольного треугольника $z=r=R$.

Отрезок касательной от вершины с углом $\gamma$ находится как $x = r \cot(\frac{\gamma}{2}) = R \cot(\frac{\gamma}{2})$.

Отрезок касательной от вершины с углом $90^\circ - \gamma$ находится как $y = r \cot(\frac{90^\circ - \gamma}{2}) = R \cot(45^\circ - \frac{\gamma}{2})$.

Полупериметр треугольника равен сумме этих трех отрезков: $p = x + y + z$.

$p = R \cot(\frac{\gamma}{2}) + R \cot(45^\circ - \frac{\gamma}{2}) + R = R \left(1 + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)\right)$

Теперь находим площадь основания:

$S_{осн} = p \cdot R = R^2 \left(1 + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) + \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)\right)$

Используя тригонометрическое тождество $\cot(A) + \cot(B) + 1 = \cot(A)\cot(B)$ для углов $A = \frac{\gamma}{2}$ и $B = 45^\circ - \frac{\gamma}{2}$ (поскольку $A+B = 45^\circ$), мы можем упростить выражение для площади:

$S_{осн} = R^2 \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$

3. Нахождение объема пирамиды

Теперь, имея выражения для высоты и площади основания, подставим их в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \left(R^2 \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)\right) \cdot (R \tan(\phi))$

Объединяя все члены, получаем конечный результат:

$V = \frac{1}{3} R^3 \tan(\phi) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$

Ответ: $V = \frac{1}{3} R^3 \tan(\phi) \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cot\left(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\right)$.