Номер 4.118, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.118. Шахматная фигура «Пеш-ка» изображена на рис. 4.53. Найдите ее объем.

Рис. 4.53

Для нахождения объема шахматной фигуры «Пешка», ее следует разбить на несколько простых геометрических тел, являющихся телами вращения. Общий объем фигуры будет равен сумме объемов этих частей. Исходя из рисунка, фигуру можно разделить на 5 частей (сверху вниз).

Общий объем $V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5$.

Верхняя часть фигуры представляет собой шар. Из рисунка видно, что его радиус $R_1 = 1,5$ см. Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi (1,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3,375 = 4,5\pi$ см³.

Ответ: $4,5\pi$ см³.

Эта часть соединяет шар с основной частью фигуры. Она представляет собой усеченный конус высотой $h_2 = 1,2$ см. Радиус верхнего основания (под шаром) $r_2 = 1,5$ см, а радиус нижнего основания $R_2 = 2$ см. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле $V_{усеч.конуса} = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

$V_2 = \frac{1}{3}\pi h_2 (R_2^2 + R_2 r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 1,2 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1,5 + 1,5^2) = 0,4\pi \cdot (4 + 3 + 2,25) = 0,4\pi \cdot 9,25 = 3,7\pi$ см³.

Ответ: $3,7\pi$ см³.

Основная часть пешки также является усеченным конусом. Его высота $h_3 = 7$ см. Радиус верхнего основания $r_3 = 2$ см, а радиус нижнего основания $R_3 = 2,5$ см.

$V_3 = \frac{1}{3}\pi h_3 (R_3^2 + R_3 r_3 + r_3^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 7 \cdot (2,5^2 + 2,5 \cdot 2 + 2^2) = \frac{7}{3}\pi \cdot (6,25 + 5 + 4) = \frac{7}{3}\pi \cdot 15,25 = \frac{106,75}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{106,75}{3}\pi$ см³.

Эта часть является еще одним усеченным конусом высотой $h_4 = 1$ см. Радиус его верхнего основания $r_4 = 2,5$ см, а нижнего $R_4 = 3$ см.

$V_4 = \frac{1}{3}\pi h_4 (R_4^2 + R_4 r_4 + r_4^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 1 \cdot (3^2 + 3 \cdot 2,5 + 2,5^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot (9 + 7,5 + 6,25) = \frac{1}{3}\pi \cdot 22,75 = \frac{22,75}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{22,75}{3}\pi$ см³.

Самая нижняя часть пешки представляет собой цилиндр. Его высота $h_5 = 1$ см, а радиус основания $R_5 = 3$ см. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi R^2 h$.

$V_5 = \pi R_5^2 h_5 = \pi \cdot 3^2 \cdot 1 = 9\pi$ см³.

Ответ: $9\pi$ см³.

Теперь найдем общий объем, суммируя объемы всех пяти частей:

$V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 = 4,5\pi + 3,7\pi + \frac{106,75}{3}\pi + \frac{22,75}{3}\pi + 9\pi$

Сгруппируем слагаемые:

$V = (4,5 + 3,7 + 9)\pi + (\frac{106,75 + 22,75}{3})\pi = 17,2\pi + \frac{129,5}{3}\pi$

Приведем к общему знаменателю:

$V = (\frac{17,2 \cdot 3}{3} + \frac{129,5}{3})\pi = (\frac{51,6 + 129,5}{3})\pi = \frac{181,1}{3}\pi$ см³.

Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$V = \frac{1811}{30}\pi$ см³.

Для численной оценки, вычислим приближенное значение:

$V \approx \frac{1811}{30} \cdot 3,14159 \approx 60,367 \cdot 3,14159 \approx 189,65$ см³.

Ответ: $\frac{1811}{30}\pi$ см³ (или приближенно $189,65$ см³).