Номер 4.122, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.122. Радиус цилиндра, вписанного в конус, вдвое меньше радиуса конуса. Найдите отношение объема конуса к объему цилиндра.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, а его высоту как $H$. Тогда объем конуса $V_{конус}$ вычисляется по формуле:

$V_{конус} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Обозначим радиус основания вписанного цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Объем цилиндра $V_{цилиндр}$ вычисляется по формуле:

$V_{цилиндр} = \pi r^2 h$

По условию задачи, радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса:

$r = \frac{R}{2}$

Чтобы найти связь между высотами конуса и цилиндра, рассмотрим их осевое сечение. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2R$. Сечение цилиндра — это прямоугольник с высотой $h$ и основанием $2r$, вписанный в этот треугольник.

В осевом сечении образуются два подобных прямоугольных треугольника. Один — образованный высотой и радиусом конуса (катеты $H$ и $R$). Второй, меньший, треугольник находится над цилиндром, его катеты — это высота малого конуса над цилиндром, равная $(H - h)$, и радиус основания цилиндра $r$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов:

$\frac{H}{R} = \frac{H - h}{r}$

Подставим в это соотношение известное нам условие $r = \frac{R}{2}$:

$\frac{H}{R} = \frac{H - h}{R/2}$

Умножим обе части уравнения на $R$, чтобы его сократить:

$H = \frac{H - h}{1/2}$

$H = 2(H - h)$

$H = 2H - 2h$

$2h = 2H - H$

$2h = H \implies h = \frac{H}{2}$

Теперь, зная соотношения радиусов и высот, мы можем найти объем цилиндра через параметры конуса $R$ и $H$:

$V_{цилиндр} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} = \frac{\pi R^2 H}{8}$

Наконец, найдём искомое отношение объема конуса к объему цилиндра:

$\frac{V_{конус}}{V_{цилиндр}} = \frac{\frac{1}{3}\pi R^2 H}{\frac{1}{8}\pi R^2 H}$

Сократив общие множители $\pi R^2 H$, получаем:

$\frac{V_{конус}}{V_{цилиндр}} = \frac{1/3}{1/8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{1} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.