Номер 4.125, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.125. В цилиндр радиусом $\text{R}$ и высотой $\text{h}$ вписана треугольная пирамида так, что два ее противоположных ребра расположены на основаниях цилиндра. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды.

Пусть данная треугольная пирамида (тетраэдр) имеет вершины A, B, C, D. По условию, два её противоположных ребра, например AB и CD, расположены на основаниях цилиндра. Это означает, что отрезок AB является хордой в одном круге-основании, а отрезок CD — хордой в другом.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой, связывающей объём с длинами двух противоположных рёбер, расстоянием и углом между ними: $V = \frac{1}{6}ab d \sin\phi$ где $a$ и $b$ — длины противоположных рёбер, $d$ — расстояние между прямыми, содержащими эти рёбра, а $\phi$ — угол между этими прямыми.

В нашей задаче:

• $a$ — длина ребра AB, которое является хордой круга-основания радиусом $R$. Наибольшая длина хорды — это диаметр, поэтому $a \le 2R$.
• $b$ — длина ребра CD, которое также является хордой круга-основания радиусом $R$. Аналогично, $b \le 2R$.
• $d$ — расстояние между прямыми, содержащими рёбра AB и CD. Поскольку эти рёбра лежат в плоскостях оснований цилиндра, расстояние между этими плоскостями равно высоте цилиндра $h$. Следовательно, $d=h$.
• $\phi$ — угол между прямыми AB и CD. Этот угол можно менять, поворачивая одно основание относительно другого.

Подставив известные величины в формулу объёма, получим: $V = \frac{1}{6}abh \sin\phi$

Чтобы найти наибольшее возможное значение объёма, нам нужно максимизировать произведение $ab \sin\phi$, так как $\frac{1}{6}h$ является постоянной величиной.

Поскольку выбор длины хорды $a$, длины хорды $b$ и угла $\phi$ между ними независимы, мы можем максимизировать каждый множитель отдельно:

• Наибольшее значение для $a$ равно $2R$ (когда AB — диаметр).
• Наибольшее значение для $b$ равно $2R$ (когда CD — диаметр).
• Наибольшее значение для $\sin\phi$ равно 1 (когда $\phi = 90^\circ$, то есть когда рёбра AB и CD перпендикулярны).

Такая конфигурация возможна: мы можем взять в качестве рёбер два перпендикулярных диаметра на разных основаниях цилиндра.

Таким образом, наибольший объём пирамиды равен: $V_{\text{max}} = \frac{1}{6} \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot h \cdot 1 = \frac{4R^2h}{6} = \frac{2}{3}R^2h$

Ответ: $\frac{2}{3}R^2h$