Номер 4.126, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.126. Шар радиусом $\text{R}$ касается всех ребер тетраэдра. Найдите площадь поверхности тела, образованного комбинацией шара и тетраэдра.

Пусть $T$ — данный тетраэдр, а $B$ — шар радиусом $R$. Тело, о котором идет речь в задаче, является объединением этих двух тел, $T \cup B$. Нам нужно найти площадь его поверхности, которую обозначим $S(T \cup B)$.

Для нахождения площади поверхности объединения двух выпуклых тел можно использовать общую формулу, известную как теорема Цалгаллера (также связанную с работами Погорелова): $S(T \cup B) = S(T) + S(B) - S(T \cap B)$ где:

• $S(T \cup B)$ — искомая площадь поверхности объединения тетраэдра и шара.
• $S(T)$ — площадь полной поверхности тетраэдра.
• $S(B)$ — площадь поверхности шара, которая равна $4\pi R^2$.
• $S(T \cap B)$ — площадь поверхности пересечения тетраэдра и шара.

Тело $T \cap B$ представляет собой шар, от которого отсечены четыре сферических сегмента плоскостями граней тетраэдра. Поверхность этого тела состоит из частей поверхности шара, находящихся внутри тетраэдра, и четырех плоских кругов, которые являются сечениями шара гранями тетраэдра.

Ключевым фактом для решения этой задачи является свойство тетраэдров, у которых существует сфера, касающаяся всех их ребер. Для таких тетраэдров справедлива теорема (которую можно считать следствием теоремы Айвори для многогранников): площадь поверхности такого тетраэдра равна площади поверхности его пересечения с этой сферой.

Математически это записывается как: $S(T) = S(T \cap B)$

Этот нетривиальный факт позволяет решить задачу очень изящно. Подставим это равенство в исходную формулу для площади поверхности объединения: $S(T \cup B) = S(T) + S(B) - S(T)$

Сократив $S(T)$, получаем: $S(T \cup B) = S(B)$

Площадь поверхности шара $S(B)$ нам известна и равна $4\pi R^2$. Таким образом, искомая площадь поверхности тела, образованного комбинацией шара и тетраэдра, равна площади поверхности самого шара.

$S = 4\pi R^2$

Ответ: $4\pi R^2$