Номер 4.127, страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.127. 1) На стороне $\text{AC}$ треугольника $ABC$ взята точка $\text{N}$ так, что $AN = \frac{2}{5}AC$. Медиана $\text{AE}$ и отрезок $\text{BN}$ перпендикулярны и $AE=m, BN=n$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

2) На стороне $\text{AC}$ треугольника $ABC$ взята точка $\text{K}$ так, что $AK = \frac{3}{5}AC$. Медиана $\text{AP}$ и отрезок $\text{BK}$ перпендикулярны и $AP=a$, $BK=b$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1) Рассмотрим четырехугольник $ABEN$. Его диагонали $AE$ и $BN$ перпендикулярны по условию. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения длин диагоналей.

Следовательно, площадь четырехугольника $ABEN$ равна:

$S_{ABEN} = \frac{1}{2} AE \cdot BN = \frac{1}{2}mn$

Площадь этого же четырехугольника можно представить как сумму площадей треугольников $ABE$ и $AEN$.

$S_{ABEN} = S_{ABE} + S_{AEN}$

Поскольку $AE$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$, она делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $ABE$ и $AEC$.

$S_{ABE} = S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Рассмотрим треугольники $AEN$ и $AEC$. У них общая высота, проведенная из вершины $E$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{AEN}}{S_{AEC}} = \frac{AN}{AC}$

По условию $AN = \frac{2}{5}AC$, поэтому $\frac{S_{AEN}}{S_{AEC}} = \frac{2}{5}$.

Отсюда $S_{AEN} = \frac{2}{5}S_{AEC}$. Так как $S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, получаем:

$S_{AEN} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{5} S_{ABC}$

Теперь подставим площади $S_{ABE}$ и $S_{AEN}$ в формулу для площади четырехугольника:

$S_{ABEN} = S_{ABE} + S_{AEN} = \frac{1}{2}S_{ABC} + \frac{1}{5}S_{ABC} = (\frac{5}{10} + \frac{2}{10})S_{ABC} = \frac{7}{10}S_{ABC}$

Приравниваем два выражения для площади $S_{ABEN}$:

$\frac{7}{10}S_{ABC} = \frac{1}{2}mn$

Отсюда находим площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}mn \cdot \frac{10}{7} = \frac{5}{7}mn$

Ответ: $S_{ABC} = \frac{5}{7}mn$

2) Данная задача решается аналогично предыдущей. Рассмотрим четырехугольник $ABKP$. Его диагонали $AP$ и $BK$ по условию перпендикулярны. Площадь этого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

$S_{ABKP} = \frac{1}{2} AP \cdot BK = \frac{1}{2}ab$

С другой стороны, площадь этого четырехугольника можно представить как сумму площадей треугольников $ABP$ и $AKP$.

$S_{ABKP} = S_{ABP} + S_{AKP}$

Так как $AP$ — медиана треугольника $ABC$, то $S_{ABP} = S_{ACP} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Треугольники $AKP$ и $ACP$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $P$ к стороне $AC$. Значит, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{AKP}}{S_{ACP}} = \frac{AK}{AC}$

По условию $AK = \frac{3}{5}AC$, поэтому $\frac{S_{AKP}}{S_{ACP}} = \frac{3}{5}$.

Отсюда $S_{AKP} = \frac{3}{5}S_{ACP}$. Подставляя $S_{ACP} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, получаем:

$S_{AKP} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{3}{10} S_{ABC}$

Теперь найдем площадь четырехугольника $ABKP$ через площадь $S_{ABC}$:

$S_{ABKP} = S_{ABP} + S_{AKP} = \frac{1}{2}S_{ABC} + \frac{3}{10}S_{ABC} = (\frac{5}{10} + \frac{3}{10})S_{ABC} = \frac{8}{10}S_{ABC} = \frac{4}{5}S_{ABC}$

Приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABKP}$:

$\frac{4}{5}S_{ABC} = \frac{1}{2}ab$

Выразим $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8}ab$

Ответ: $S_{ABC} = \frac{5}{8}ab$