Номер 4.121, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.121. В шар вписаны цилиндр и конус, имеющие общее основание. Они расположены по разные стороны от общего основания. Площадь осевого сечения цилиндра равна $75 \text{ м}^2$, а отношение объемов цилиндра и конуса равно 9:1. Найдите радиус шара (рис. 4.54).

Рис. 4.54

Решение:

Обозначим радиус шара как $R$. Пусть радиус общего основания цилиндра и конуса будет $r$, высота цилиндра - $h_{cyl}$, а высота конуса - $h_{cone}$. Тела вписаны в шар, и их осевое сечение лежит в плоскости большого круга шара.

Отношение объемов цилиндра и конуса задано как 9:1. $$ V_{cyl} = \pi r^2 h_{cyl} $$ $$ V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{cone} $$ Составим их отношение: $$ \frac{V_{cyl}}{V_{cone}} = \frac{\pi r^2 h_{cyl}}{\frac{1}{3}\pi r^2 h_{cone}} = \frac{3h_{cyl}}{h_{cone}} $$ По условию: $$ \frac{3h_{cyl}}{h_{cone}} = \frac{9}{1} \implies h_{cyl} = 3h_{cone} $$

Площадь осевого сечения цилиндра - это площадь прямоугольника со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h_{cyl}$. $$ S_{ax.cyl} = 2r \cdot h_{cyl} = 75 \, \text{м}^2 $$

Рассмотрим осевое сечение. Оно представляет собой большой круг радиуса $R$. В этот круг вписаны прямоугольник (сечение цилиндра) и равнобедренный треугольник (сечение конуса) с общим основанием $2r$. Так как цилиндр и конус расположены по разные стороны от общего основания, и вся фигура вписана в шар, то центр шара $O$ лежит на оси симметрии между основаниями цилиндра. Пусть расстояние от центра шара $O$ до плоскости общего основания равно $h_0$. Тогда высота цилиндра $h_{cyl}$ будет равна $2h_0$, так как его основания равноудалены от центра шара.

Вершина конуса $P$ лежит на поверхности шара. Высота конуса $h_{cone}$ будет равна расстоянию от плоскости общего основания до вершины. $$ h_{cone} = R - h_0 $$ Теперь используем соотношение высот: $$ h_{cyl} = 3h_{cone} \implies 2h_0 = 3(R - h_0) $$ $$ 2h_0 = 3R - 3h_0 $$ $$ 5h_0 = 3R \implies h_0 = \frac{3}{5}R $$

Теперь выразим $r$, $h_{cyl}$ и $h_{cone}$ через $R$. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$, радиусом основания $r$ и расстоянием $h_0$, по теореме Пифагора: $$ R^2 = r^2 + h_0^2 \implies r^2 = R^2 - h_0^2 $$ $$ r^2 = R^2 - \left(\frac{3}{5}R\right)^2 = R^2 - \frac{9}{25}R^2 = \frac{16}{25}R^2 $$ $$ r = \sqrt{\frac{16}{25}R^2} = \frac{4}{5}R $$ Высота цилиндра: $$ h_{cyl} = 2h_0 = 2 \cdot \frac{3}{5}R = \frac{6}{5}R $$

Подставим полученные выражения для $r$ и $h_{cyl}$ в формулу площади осевого сечения цилиндра: $$ S_{ax.cyl} = 2r \cdot h_{cyl} = 75 $$ $$ 2 \cdot \left(\frac{4}{5}R\right) \cdot \left(\frac{6}{5}R\right) = 75 $$ $$ \frac{48}{25}R^2 = 75 $$ Выразим $R^2$: $$ R^2 = \frac{75 \cdot 25}{48} $$ Сократим дробь на 3: $75 = 3 \cdot 25$, $48 = 3 \cdot 16$. $$ R^2 = \frac{25 \cdot 25}{16} = \frac{625}{16} $$ Найдем радиус $R$: $$ R = \sqrt{\frac{625}{16}} = \frac{25}{4} = 6,25 \, \text{м} $$

Ответ: 6,25 м.