Номер 4.117, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.117. Вершина конуса совпадает с центром основания полушара. Основание конуса, касающееся поверхности полушара, параллельно основанию полушара. Угол между образующей и осью конуса равен $\varphi$. Найдите отношение объемов полушара и конуса (рис. 4.52).

Дано: в полушар вписан конус с осевым сечением OAB,

$\angle AOC = \varphi$.

Найти $V_{\text{полуш.}} : V_{\text{кон.}}$.

▲ Пусть $AO = R$. Тогда из $\triangle AOC$ имеем: $OC = AO \cdot \cos\varphi = R \cdot \cos\varphi$.

Рис. 4.52

Дано:

В полушар вписан конус. Вершина конуса $O$ совпадает с центром основания полушара. Основание конуса касается сферической поверхности полушара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник $OAB$. Угол между образующей $OA$ и осью конуса $OC$ равен $\phi$, то есть $\angle AOC = \phi$.

Найти:

Отношение объемов полушара и конуса: $\frac{V_{полуш.}}{V_{кон.}}$

Решение:

1. Обозначим радиус полушара через $R$. Так как точка $A$ лежит на сферической поверхности полушара, а точка $O$ является центром его основания, то отрезок $OA$ является радиусом полушара. Образующая конуса $OA$ равна радиусу полушара $R$.

$OA = R$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$ (где $\angle OCA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

- $OA$ — гипотенуза, являющаяся образующей конуса и радиусом полушара ($OA = R$).

- $OC$ — катет, являющийся высотой конуса ($h_{кон.}$).

- $AC$ — катет, являющийся радиусом основания конуса ($r_{кон.}$).

- $\angle AOC = \phi$ по условию.

3. Выразим высоту и радиус основания конуса через $R$ и $\phi$ из треугольника $AOC$:

Высота конуса: $h_{кон.} = OC = OA \cdot \cos\phi = R\cos\phi$.

Радиус основания конуса: $r_{кон.} = AC = OA \cdot \sin\phi = R\sin\phi$.

4. Запишем формулы для объемов полушара и конуса.

Объем полушара: $V_{полуш.} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Объем конуса: $V_{кон.} = \frac{1}{3}\pi r_{кон.}^2 h_{кон.}$.

5. Подставим выражения для $h_{кон.}$ и $r_{кон.}$ в формулу объема конуса:

$V_{кон.} = \frac{1}{3}\pi (R\sin\phi)^2 (R\cos\phi) = \frac{1}{3}\pi (R^2\sin^2\phi)(R\cos\phi) = \frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\phi \cos\phi$.

6. Найдем искомое отношение объемов:

$\frac{V_{полуш.}}{V_{кон.}} = \frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^3 \sin^2\phi \cos\phi}$.

Сократим общие множители $\frac{1}{3}\pi R^3$:

$\frac{V_{полуш.}}{V_{кон.}} = \frac{2}{\sin^2\phi \cos\phi}$.

Ответ: $\frac{2}{\sin^2\phi \cos\phi}$