Номер 4.112, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр, диагональное сечение которого является квадратом, и окружность верхнего основания цилиндра касается всех боковых граней пирамиды, а нижнее основание цилиндра лежит на основании пирамиды (рис. 4.49). Сторона основания пирамиды равна 10 см, а боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите объем цилиндра.

Рис. 4.49

Для решения задачи нам необходимо найти объем цилиндра, который вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота. Найдем эти величины, исходя из условий задачи.

1. Анализ геометрических соотношений

В основании правильной четырехугольной пирамиды $EABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Пусть сторона этого квадрата равна $a = 10$ см. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды, и, в силу симметрии, их центры совпадают в точке $O$.

По условию, диагональное сечение цилиндра является квадратом. Диагональным сечением цилиндра является прямоугольник, проходящий через его ось, со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$ (высота). Следовательно, $h = 2r$.

Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее высоту $EO$ и апофему $EN$ (где $N$ – середина стороны $BC$). В этом сечении мы видим треугольник $EON$. Отрезок $ON$ является половиной стороны основания, так как $O$ – центр квадрата. Таким образом, $ON = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Угол $\angle ENO$ и есть данный в условии угол $60^\circ$.

Условие "окружность верхнего основания цилиндра касается всех боковых граней пирамиды" означает, что в рассматриваемом сечении $EON$ точка касания $K_1$ является общей точкой для апофемы $EN$ и окружности верхнего основания цилиндра. Если мы введем систему координат с началом в точке $O$, осью абсцисс по лучу $ON$ и осью ординат по лучу $OE$, то точка $K_1$ будет иметь координаты $(r, h)$. Эта точка должна лежать на прямой, содержащей отрезок $EN$.

2. Вычисление параметров цилиндра

Сначала найдем высоту пирамиды $EO$ из прямоугольного треугольника $EON$: $EO = ON \cdot \tan(\angle ENO) = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $N(5, 0)$ и $E(0, 5\sqrt{3})$. Угловой коэффициент $k = \frac{5\sqrt{3} - 0}{0 - 5} = -\sqrt{3}$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставив точку $E$, получаем $b = 5\sqrt{3}$. Итак, уравнение прямой $EN$: $y = -\sqrt{3}x + 5\sqrt{3}$.

Поскольку точка $K_1(r, h)$ лежит на этой прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению: $h = -\sqrt{3}r + 5\sqrt{3}$.

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения $r$ и $h$: $\begin{cases} h = 2r \\ h = -\sqrt{3}r + 5\sqrt{3} \end{cases}$

Приравняем правые части: $2r = -\sqrt{3}r + 5\sqrt{3}$ $2r + \sqrt{3}r = 5\sqrt{3}$ $r(2 + \sqrt{3}) = 5\sqrt{3}$ $r = \frac{5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{10\sqrt{3} - 5 \cdot 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{10\sqrt{3} - 15}{4 - 3} = 10\sqrt{3} - 15$ см.

3. Нахождение объема цилиндра

Теперь, зная радиус $r$, мы можем найти объем цилиндра. Удобнее использовать соотношение $h=2r$ и формулу $V = \pi r^2 h = 2\pi r^3$. $r = 10\sqrt{3} - 15 = 5(2\sqrt{3} - 3)$.

Вычислим $r^3$: $r^3 = (5(2\sqrt{3} - 3))^3 = 125 \cdot (2\sqrt{3} - 3)^3$ Используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $(2\sqrt{3} - 3)^3 = (2\sqrt{3})^3 - 3 \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 3^2 - 3^3$ $= (8 \cdot 3\sqrt{3}) - 9 \cdot (4 \cdot 3) + 9 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 9 - 27$ $= 24\sqrt{3} - 108 + 54\sqrt{3} - 27$ $= 78\sqrt{3} - 135$.

Подставляем в выражение для объема: $V = 2\pi \cdot (125 \cdot (78\sqrt{3} - 135)) = 250\pi (78\sqrt{3} - 135)$. Можно вынести общий множитель 3 из скобок: $V = 250\pi \cdot 3(26\sqrt{3} - 45) = 750\pi(26\sqrt{3} - 45)$.

Ответ: $750\pi(26\sqrt{3} - 45)$ см³.