Номер 4.106, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.106. Решите задачу 4.104, рассматривая правильную треугольную усеченную пирамиду вместо четырехугольной.

4.104. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 м и 6 м, а высота – 5 м. Найдите объем:

1) вписанного в нее;

2) описанного около нее усеченного конуса.

По условию задачи 4.106, мы решаем задачу 4.104 для правильной треугольной усеченной пирамиды. Дано: стороны оснований $a_1 = 6$ м и $a_2 = 2$ м, высота $H = 5$ м. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$, где $H$ - высота конуса (равна высоте пирамиды), $R$ и $r$ - радиусы его оснований.

1) вписанного в нее

Найдем объем усеченного конуса, вписанного в пирамиду. Основаниями такого конуса являются окружности, вписанные в основания пирамиды, которые представляют собой правильные треугольники. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Для нижнего (большего) основания пирамиды со стороной $a_1 = 6$ м, радиус основания конуса $R$ равен: $R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ м. Для верхнего (меньшего) основания пирамиды со стороной $a_2 = 2$ м, радиус основания конуса $r$ равен: $r = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ м. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды: $H = 5$ м. Теперь можем вычислить объем вписанного усеченного конуса: $V_1 = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \cdot ((\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2)$. $V_1 = \frac{5\pi}{3} (3 + 1 + \frac{1}{3}) = \frac{5\pi}{3} (4 + \frac{1}{3}) = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{13}{3} = \frac{65\pi}{9}$ м³.

Ответ: $\frac{65\pi}{9}$ м³.

2) описанного около нее усеченного конуса

Найдем объем усеченного конуса, описанного около пирамиды. Основаниями такого конуса являются окружности, описанные около оснований пирамиды. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $r_{оп} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для нижнего основания пирамиды со стороной $a_1 = 6$ м, радиус основания конуса $R$ равен: $R = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ м. Для верхнего основания пирамиды со стороной $a_2 = 2$ м, радиус основания конуса $r$ равен: $r = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ м. Высота конуса $H = 5$ м. Вычислим объем описанного усеченного конуса: $V_2 = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \cdot ((2\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} + (\frac{2}{\sqrt{3}})^2)$. $V_2 = \frac{5\pi}{3} (12 + 4 + \frac{4}{3}) = \frac{5\pi}{3} (16 + \frac{4}{3}) = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{48+4}{3} = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{52}{3} = \frac{260\pi}{9}$ м³.

Ответ: $\frac{260\pi}{9}$ м³.