Номер 4.100, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.100. В цилиндр вписан куб так, что все его вершины принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите объем цилиндра, если объем куба равен $343 \text{ см}^3$.

Для решения задачи необходимо найти параметры цилиндра (радиус основания $R$ и высоту $H$), используя данные о вписанном в него кубе.

Сначала найдем длину ребра куба, обозначив ее как $a$. Объем куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию, объем куба равен $343 \text{ см}^3$.

$a^3 = 343 \text{ см}^3$

Извлекая кубический корень, находим длину ребра:

$a = \sqrt[3]{343} = 7 \text{ см}$.

Поскольку куб вписан в цилиндр так, что его вершины лежат на окружностях оснований, высота цилиндра $H$ равна ребру куба $a$.

$H = a = 7 \text{ см}$.

Основание куба — это квадрат со стороной $a$, вписанный в окружность, которая является основанием цилиндра. Диагональ этого квадрата $d$ равна диаметру $D$ окружности основания цилиндра. Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значение $a = 7 \text{ см}$:

$d = 7\sqrt{2} \text{ см}$.

Диаметр основания цилиндра $D$ равен диагонали квадрата $d$, значит, радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{d}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти объем цилиндра $V_{цил}$ по формуле $V_{цил} = \pi R^2 H$.

$V_{цил} = \pi \cdot \left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 7 = \pi \cdot \frac{49 \cdot 2}{4} \cdot 7 = \pi \cdot \frac{98}{4} \cdot 7 = \pi \cdot \frac{49}{2} \cdot 7 = \frac{343\pi}{2} \text{ см}^3$.

$V_{цил} = 171.5\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $171.5\pi \text{ см}^3$.