Номер 4.101, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Тело состоит из комбинации цилиндра и полушара (рис. 4.42). Высота цилиндра равна 6 см, а радиус полушара – 2 см. Найдите объем этого тела.

Рис. 4.42

Объем данного тела представляет собой сумму объемов цилиндра и полушара.

1. Найдем объем цилиндра ($V_{ц}$).

Формула для вычисления объема цилиндра: $V_{ц} = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Согласно условию задачи, высота цилиндра $H = 6$ см. Так как полушар установлен на верхнем основании цилиндра, их радиусы совпадают. Радиус полушара равен 2 см, следовательно, радиус основания цилиндра $R = 2$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$V_{ц} = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 24\pi \text{ см}^3$.

2. Найдем объем полушара ($V_{пш}$).

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара. Объем полушара составляет половину от объема шара, то есть $V_{пш} = \frac{1}{2} \cdot V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$.

Радиус полушара по условию $r = 2$ см.

Подставим значение радиуса в формулу:

$V_{пш} = \frac{2}{3}\pi \cdot (2 \text{ см})^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 8 \text{ см}^3 = \frac{16}{3}\pi \text{ см}^3$.

3. Найдем общий объем тела ($V$).

Для этого сложим объемы цилиндра и полушара:

$V = V_{ц} + V_{пш} = 24\pi \text{ см}^3 + \frac{16}{3}\pi \text{ см}^3$.

Чтобы выполнить сложение, приведем первое слагаемое к общему знаменателю 3:

$24\pi = \frac{24 \cdot 3}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi$.

Теперь сложим объемы:

$V = \frac{72}{3}\pi \text{ см}^3 + \frac{16}{3}\pi \text{ см}^3 = \frac{72\pi + 16\pi}{3} \text{ см}^3 = \frac{88}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{88}{3}\pi \text{ см}^3$.