Номер 4.107, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.107. Найдите объем куба и объем тетраэдра:

1) вписанного в шар;

2) описанного около шара радиусом 12 см.

1) вписанного в шар

В данном случае и куб, и тетраэдр вписаны в шар радиусом $R = 12$ см. Найдем объемы каждого из тел.

Объем куба:

Пусть $a$ — длина ребра куба. Главная диагональ куба равна диаметру описанной сферы, то есть $d = 2R$.

Формула для диагонали куба: $d = a\sqrt{3}$.

Приравнивая выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{3} = 2R$.

Отсюда находим длину ребра куба: $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Объем куба $V_{куба}$ равен $a^3$:

$V_{куба} = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}R^3}{9}$.

Подставляем значение радиуса $R = 12$ см:

$V_{куба} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 12^3}{9} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 1728}{9} = 8\sqrt{3} \cdot 192 = 1536\sqrt{3}$ см$^3$.

Объем тетраэдра:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра. Радиус описанной сферы $R$ связан с ребром тетраэдра соотношением $R = a\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Выразим ребро тетраэдра через радиус: $a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}R}{3}$.

Объем правильного тетраэдра $V_{тетр}$ вычисляется по формуле $V_{тетр} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Подставим в формулу объема выражение для $a$:

$V_{тетр} = \frac{\sqrt{2}}{12} \left(\frac{2\sqrt{6}R}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{8 \cdot 6\sqrt{6} R^3}{27} = \frac{\sqrt{2} \cdot 48\sqrt{6} R^3}{12 \cdot 27} = \frac{4\sqrt{12}R^3}{27} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}R^3}{27} = \frac{8\sqrt{3}R^3}{27}$.

Подставляем значение радиуса $R = 12$ см:

$V_{тетр} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 12^3}{27} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 1728}{27} = 8\sqrt{3} \cdot 64 = 512\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: объем вписанного куба равен $1536\sqrt{3}$ см$^3$, объем вписанного тетраэдра равен $512\sqrt{3}$ см$^3$.

2) описанного около шара радиусом 12 см

В данном случае шар радиусом $R = 12$ см вписан в куб и в правильный тетраэдр. Найдем объемы этих тел.

Объем куба:

Пусть $a$ — длина ребра куба. Для куба, описанного около шара, его ребро равно диаметру вписанного шара, то есть $a = 2R$.

Объем куба $V_{куба}$ равен $a^3$:

$V_{куба} = (2R)^3 = 8R^3$.

Подставляем значение радиуса $R = 12$ см:

$V_{куба} = 8 \cdot 12^3 = 8 \cdot 1728 = 13824$ см$^3$.

Объем тетраэдра:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра. Радиус вписанной в него сферы $R$ связан с ребром соотношением $R = a\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Выразим ребро тетраэдра через радиус: $a = \frac{12R}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6}R$.

Объем правильного тетраэдра $V_{тетр}$ вычисляется по формуле $V_{тетр} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Подставим в формулу объема выражение для $a$:

$V_{тетр} = \frac{\sqrt{2}}{12} (2\sqrt{6}R)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot (8 \cdot 6\sqrt{6} R^3) = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 48\sqrt{6} R^3 = 4\sqrt{12}R^3 = 4 \cdot 2\sqrt{3}R^3 = 8\sqrt{3}R^3$.

Подставляем значение радиуса $R = 12$ см:

$V_{тетр} = 8\sqrt{3} \cdot 12^3 = 8\sqrt{3} \cdot 1728 = 13824\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: объем описанного куба равен $13824$ см$^3$, объем описанного тетраэдра равен $13824\sqrt{3}$ см$^3$.