Номер 4.109, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.109. Три теннисных мяча диаметром 6 см поместили в цилиндрический футляр с таким же диаметром (рис. 4.46). Высота футляра ограничена тремя теннисными мячами. Найдите объем свободного от мячей пространства в футляре.

Рис. 4.46

Для нахождения объема свободного пространства необходимо из объема цилиндрического футляра вычесть суммарный объем трех теннисных мячей.

1. Вычисление объема цилиндрического футляра

Диаметр цилиндра равен диаметру теннисного мяча, то есть $d = 6$ см. Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = d / 2 = 6 / 2 = 3$ см.

Высота футляра $h$ равна сумме диаметров трех мячей, так как они ограничивают его высоту: $h = 3 \cdot d = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Объем цилиндра $V_{цил}$ вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$: $V_{цил} = \pi \cdot 3^2 \cdot 18 = \pi \cdot 9 \cdot 18 = 162\pi$ см$^3$.

2. Вычисление общего объема трех мячей

Каждый теннисный мяч имеет форму шара. Радиус каждого мяча $R$ равен радиусу цилиндра: $R = 3$ см.

Объем одного шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$: $V_{одного\_мяча} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4 \cdot 9 \pi = 36\pi$ см$^3$.

Так как в футляре находятся три мяча, их общий объем $V_{3мяча}$ равен: $V_{3мяча} = 3 \cdot V_{одного\_мяча} = 3 \cdot 36\pi = 108\pi$ см$^3$.

3. Вычисление объема свободного пространства

Объем свободного пространства $V_{своб}$ равен разности объема цилиндра и общего объема трех мячей: $V_{своб} = V_{цил} - V_{3мяча} = 162\pi - 108\pi = 54\pi$ см$^3$.

Ответ: $54\pi$ см$^3$.