Номер 4.115, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.115. Тело, изображенное на рис. 4.50, получено путем вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг большего основания $\text{CD}$. Известно, что $ABFD$ является квадратом со стороной $\text{r}$. Найдите объем тела, если $CF=h$.

Рис. 4.50

Данное тело вращения состоит из двух геометрических тел: цилиндра и конуса, которые имеют общее основание.

1. Цилиндр образуется в результате вращения квадрата ABFD вокруг его стороны FD. Согласно условию задачи, ABFD является квадратом со стороной r. Это означает, что радиус основания цилиндра R равен длине стороны AD или BF, а высота цилиндра H_цил равна длине стороны FD. Таким образом, R = r и H_цил = r. Объем цилиндра рассчитывается по формуле:

$V_{цил} = \pi R^2 H_{цил} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3$.

2. Конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника BFC вокруг катета FC. Радиус основания конуса совпадает с радиусом основания цилиндра и равен длине катета BF. Так как ABFD — квадрат со стороной r, то BF = r. Высота конуса H_кон равна длине катета FC. По условию, CF = h. Объем конуса рассчитывается по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

3. Общий объем тела V равен сумме объемов цилиндра и конуса:

$V = V_{цил} + V_{кон} = \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Для получения окончательного ответа вынесем общий множитель $\pi r^2$ за скобки. Ответ: $V = \pi r^2 (r + \frac{1}{3}h)$.