Номер 4.114, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.114. В основание конуса вписан квадрат со стороной, равной $\text{a}$. Через одну из сторон квадрата и вершину конуса, угол при вершине которого равен $\phi$, проведено сечение. Найдите объем конуса.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса. Найдем площадь основания и высоту, используя данные задачи.

1. Нахождение радиуса и площади основания.

В основание конуса, представляющее собой круг, вписан квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата является диаметром круга. Длина диагонали квадрата $d$ вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Диаметр основания конуса равен этой диагонали, то есть $D = a\sqrt{2}$. Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Площадь основания конуса $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

2. Нахождение высоты конуса.

Сечение, проведенное через одну из сторон квадрата и вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника — сторона квадрата $a$, а угол при вершине, противолежащий этому основанию, равен $\phi$.

Пусть $S$ — вершина конуса, а $AB$ — сторона квадрата, через которую проходит сечение. В треугольнике $ASB$ сторона $AB=a$ и $\angle ASB = \phi$. Проведем высоту $SK$ этого треугольника. Так как треугольник $ASB$ равнобедренный ($SA=SB$ как образующие конуса), высота $SK$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AK = KB = \frac{a}{2}$ и $\angle ASK = \angle BSK = \frac{\phi}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $ASK$ найдем длину высоты сечения $SK$:

$\text{ctg}(\angle ASK) = \frac{SK}{AK} \Rightarrow SK = AK \cdot \text{ctg}(\frac{\phi}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\phi}{2})$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $O$ — центр основания конуса (и центр квадрата), а $SO = H$ — искомая высота конуса. Катет $OK$ — это расстояние от центра квадрата до его стороны $AB$, которое равно половине стороны квадрата, то есть $OK = \frac{a}{2}$. Гипотенузой является отрезок $SK$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOK$ имеем $SO^2 + OK^2 = SK^2$:

$H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\phi}{2})\right)^2$

$H^2 = \frac{a^2}{4}\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1\right)$

Отсюда высота конуса $H$ равна:

$H = \sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1\right)} = \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1}$

Отметим, что для существования такого конуса необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, то есть $\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) \ge 1$, что выполняется при $0 < \phi \le \frac{\pi}{2}$.

3. Вычисление объема конуса.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi a^2}{2} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1}$

$V = \frac{\pi a^3}{12}\sqrt{\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1}$

Используя тригонометрическое тождество $\text{ctg}^2 x - 1 = \frac{\cos(2x)}{\sin^2 x}$, можно также записать ответ в виде:

$V = \frac{\pi a^3}{12}\sqrt{\frac{\cos\phi}{\sin^2(\frac{\phi}{2})}} = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos\phi}}{12\sin(\frac{\phi}{2})}$

Оба выражения для объема являются верными. Представим ответ в первом виде.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{12}\sqrt{\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1}$.