Номер 4.113, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.113. Используя условие предыдущей задачи, найдите объем:

1) конуса;

2) шара, вписанного в данную пирамиду.

Для решения задачи воспользуемся условиями, которые обычно подразумеваются в этом разделе задачника: рассматривается правильная треугольная пирамида, у которой сторона основания равна $a$, а высота равна $H$.

1) конуса;

Найдем объем конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду.

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (правильный треугольник).

Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$: $h = H$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Этот радиус можно найти по формуле для радиуса вписанной окружности в правильный треугольник: $R = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь подставим найденные значения $h$ и $R$ в формулу для объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 H = \frac{1}{3}\pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} H = \frac{1}{3}\pi \frac{a^2}{12} H = \frac{\pi a^2 H}{36}$.

Ответ: $V_{конуса} = \frac{\pi a^2 H}{36}$.

2) шара, вписанного в данную пирамиду.

Найдем объем шара, вписанного в ту же пирамиду.

Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара.

Радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, можно найти несколькими способами. Удобно использовать метод сечений. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO=H$ и апофему боковой грани $SM=L$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Для нахождения радиуса вписанного шара достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник $SOM$, где $O$ — центр основания, $M$ — середина стороны основания. Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $R$, а гипотенузой — апофема $L$.

Мы уже знаем, что $R = OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Апофему $L$ найдем по теореме Пифагора: $L = SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{12}}$.

Центр вписанного шара $O_1$ лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус шара $r$ — это расстояние от центра $O_1$ до основания и до боковых граней. Рассмотрим треугольник $SOM$. Проведем из $O_1$ перпендикуляр $O_1K$ к апофеме $SM$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу шара $r$, то есть $O_1K = r$. Прямоугольные треугольники $\triangle SOM$ и $\triangle SKO_1$ подобны, так как у них общий острый угол при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует соотношение: $\frac{O_1K}{OM} = \frac{SO_1}{SM}$.

Учтем, что $O_1K=r$, $OM=R$, $SM=L$ и $SO_1 = SO - OO_1 = H - r$.

Получаем пропорцию: $\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$.

Решим это уравнение относительно $r$:

$rL = R(H-r)$

$rL = RH - Rr$

$rL + Rr = RH$

$r(L+R) = RH$

$r = \frac{RH}{R+L}$

Подставим выражения для $R$ и $L$:

$r = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6} H}{\frac{a\sqrt{3}}{6} + \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{12}}}$

Упростим знаменатель, приведя корень к общему знаменателю: $6\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{12}} = \sqrt{36\left(H^2 + \frac{a^2}{12}\right)} = \sqrt{36H^2 + 3a^2}$.

Тогда $r = \frac{\frac{aH\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3} + \sqrt{36H^2 + 3a^2}}{6}} = \frac{aH\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + \sqrt{36H^2 + 3a^2}}$.

Теперь найдем объем шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{aH\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + \sqrt{36H^2 + 3a^2}} \right)^3$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{4\pi}{3} \left( \frac{aH\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + \sqrt{36H^2 + 3a^2}} \right)^3$.