Номер 4.120, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.120. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно $\text{k}$. Каково отношение объемов данных тел?

Пусть $H$ — высота конуса, $r$ — радиус основания конуса, а $R$ — радиус описанного около него шара. По условию, дано отношение $\frac{H}{R} = k$.

Объем конуса $V_к$ и объем шара $V_ш$ определяются формулами:

$V_к = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

$V_ш = \frac{4}{3}\pi R^3$

Чтобы найти отношение объемов, необходимо связать все параметры ($H$, $r$, $R$) друг с другом. Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина основания — радиусу основания конуса $r$.

Центр описанного шара лежит на оси конуса (на его высоте). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, проведенным к окружности основания конуса (гипотенуза $R$), радиусом основания конуса (катет $r$) и расстоянием от центра шара до плоскости основания конуса (второй катет). Это расстояние равно $|H - R|$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (H - R)^2$

Раскроем скобки и найдем выражение для $r^2$:

$R^2 = r^2 + H^2 - 2HR + R^2$

$0 = r^2 + H^2 - 2HR$

$r^2 = 2HR - H^2$

Заметим, что для существования конуса необходимо, чтобы $r^2 > 0$, то есть $2HR - H^2 > 0$, откуда $2R > H$. Разделив на $R$, получаем $2 > H/R$, то есть $k < 2$. Также $H > 0$, поэтому $k > 0$. Таким образом, $0 < k < 2$.

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объема конуса:

$V_к = \frac{1}{3}\pi (2HR - H^2)H = \frac{1}{3}\pi (2H^2R - H^3)$

Теперь мы можем найти отношение объемов конуса и шара:

$\frac{V_к}{V_ш} = \frac{\frac{1}{3}\pi (2H^2R - H^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сократим $\frac{1}{3}\pi$:

$\frac{V_к}{V_ш} = \frac{2H^2R - H^3}{4R^3}$

Используем заданное в условии отношение $\frac{H}{R} = k$, из которого следует $H = kR$. Подставим это в нашу формулу:

$\frac{V_к}{V_ш} = \frac{2(kR)^2R - (kR)^3}{4R^3} = \frac{2k^2R^3 - k^3R^3}{4R^3}$

Вынесем $R^3$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$\frac{V_к}{V_ш} = \frac{R^3(2k^2 - k^3)}{4R^3} = \frac{2k^2 - k^3}{4}$

Для более удобного вида можно вынести $k^2$ за скобки в числителе:

$\frac{V_к}{V_ш} = \frac{k^2(2 - k)}{4}$

Ответ: $\frac{k^2(2 - k)}{4}$.