Номер 4.124, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.124. Высота треугольной пирамиды равна 5, а стороны основания — 7, 8 и 9. Некий шар касается боковых граней пирамиды в точках, принадлежащих сторонам ее основания. Найдите объем шара.

Пусть $SABC$ — данная треугольная пирамида с вершиной $S$. Основанием является треугольник $ABC$ со сторонами $a=7$, $b=8$, $c=9$. Высота пирамиды $H=5$.

Пусть шар с центром $O$ и радиусом $R$ касается боковых граней $SAB$, $SBC$, $SCA$ в точках $T_1$, $T_2$, $T_3$ соответственно. По условию, эти точки касания лежат на сторонах основания $AB$, $BC$, $CA$.

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости, то $OT_1 \perp$ плоскости $SAB$. Поскольку точка $T_1$ лежит на прямой $AB$, которая также лежит в плоскости $SAB$, то радиус $OT_1$ перпендикулярен прямой $AB$. Аналогично, $OT_2 \perp BC$ и $OT_3 \perp CA$.

Пусть $O_p$ — проекция центра шара $O$ на плоскость основания $ABC$. Тогда отрезки $O_pT_1$, $O_pT_2$ и $O_pT_3$ являются проекциями радиусов $OT_1$, $OT_2$, $OT_3$ на эту плоскость. Из перпендикулярности $OT_1 \perp AB$ следует, что $O_pT_1 \perp AB$ (по теореме о трех перпендикулярах). Аналогично, $O_pT_2 \perp BC$ и $O_pT_3 \perp CA$.

Расстояния от $O_p$ до сторон треугольника $ABC$ равны, так как $|O_pT_1|^2 = |OT_1|^2 - |OO_p|^2 = R^2 - |OO_p|^2$, и аналогично для $T_2$ и $T_3$. Следовательно, точка $O_p$ равноудалена от сторон треугольника $ABC$, а значит, является центром вписанной в него окружности. Обозначим $O_p$ как $I$. Точки $T_1, T_2, T_3$ являются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника, а расстояние от $I$ до сторон равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $|IT_1| = |IT_2| = |IT_3| = r$.

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Сначала вычислим площадь основания по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле $S_{осн} = p \cdot r$:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$

Поскольку центр шара $O$ проектируется в центр вписанной окружности $I$, боковые грани пирамиды должны быть одинаково наклонены к основанию. Это означает, что высота пирамиды $H$ опускается из вершины $S$ в точку $I$.

Рассмотрим сечение, проходящее через центр шара $O$, точку касания $T_1$ и перпендикулярное стороне основания $AB$. В этом сечении лежат отрезки $OI$ и $IT_1$. Угол между плоскостью боковой грани $SAB$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол $\phi$ при ребре $AB$. Этот угол равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. Нормаль к плоскости основания — это прямая $OI$. Нормаль к плоскости грани $SAB$ — это прямая $OT_1$. Следовательно, $\phi = \angle OIT_1$ (если $O$ и $S$ по разные стороны от основания) или $\phi = 180^\circ - \angle OIT_1$ (если по одну сторону). В прямоугольном треугольнике $OIT_1$ (угол $I$ прямой) имеем $\tan(\angle OIT_1) = \frac{|IT_1|}{|OI|} = \frac{r}{|z_O|}$, где $|z_O|$ — расстояние от центра шара до плоскости основания.

С другой стороны, тот же двугранный угол $\phi$ можно найти из прямоугольного треугольника $SIT_1$: $\tan\phi = \frac{H}{|IT_1|} = \frac{H}{r}$.

Приравнивая выражения для $\tan\phi$, получаем:

$\frac{r}{|z_O|} = \frac{H}{r} \implies |z_O| \cdot H = r^2 \implies |z_O| = \frac{r^2}{H}$

Подставим известные значения $r = \sqrt{5}$ и $H=5$:

$|z_O| = \frac{(\sqrt{5})^2}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Радиус шара $R$ найдем из прямоугольного треугольника $OIT_1$ по теореме Пифагора:

$R^2 = |OT_1|^2 = |OI|^2 + |IT_1|^2 = |z_O|^2 + r^2$

$R^2 = 1^2 + (\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6$

$R = \sqrt{6}$

Теперь можем найти объем шара $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{6})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6\sqrt{6} = 4 \cdot 2 \pi \sqrt{6} = 8\pi\sqrt{6}$

Ответ: $8\pi\sqrt{6}$.