Номер 4.111, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.111. Тело, изображенное на рис. 4.48, состоит из комбинации пяти пирамид и одного прямоугольного параллелепипеда. Сторона основания параллелепипеда равна 6 см и является квадратом. Высоты параллелепипеда и пирамид равны 2 см. Найдите объем этого тела.

Рис. 4.48

Общий объем тела $V$ складывается из объема прямоугольного параллелепипеда $V_{пар}$ и суммарного объема пяти пирамид $V_{пир\_общ}$.

Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Его основание — квадрат со стороной $a = 6$ см, а высота $h_{пар} = 2$ см. Объем вычисляется по формуле $V_{пар} = S_{осн} \cdot h_{пар}$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь основания равна: $S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$. Таким образом, объем параллелепипеда составляет: $V_{пар} = 36 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 72 \text{ см}^3$.

Далее найдем суммарный объем пяти пирамид. Основания всех пирамид вместе полностью покрывают верхнюю грань параллелепипеда, поэтому сумма площадей их оснований $S_{общ\_осн\_пир}$ равна площади верхней грани, то есть $36 \text{ см}^2$. Высота каждой пирамиды $h_{пир} = 2$ см. Суммарный объем всех пирамид можно найти, используя общую площадь их оснований и высоту: $V_{пир\_общ} = \frac{1}{3} \cdot S_{общ\_осн\_пир} \cdot h_{пир}$. Подставив значения, получаем: $V_{пир\_общ} = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$.

Наконец, для нахождения общего объема тела сложим объемы параллелепипеда и пирамид: $V = V_{пар} + V_{пир\_общ} = 72 \text{ см}^3 + 24 \text{ см}^3 = 96 \text{ см}^3$.

Ответ: $96 \text{ см}^3$.