Номер 4.104, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.104. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 м и 6 м, а высота 5 м. Найдите объем:

1) вписанного в нее;

2) описанного около нее усеченного конуса.

В задаче рассматривается правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой основаниями являются квадраты.

Сторона большего основания $a_1 = 6$ м.

Сторона меньшего основания $a_2 = 2$ м.

Высота пирамиды $h = 5$ м.

Объем усеченного конуса находится по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $h$ — высота конуса, $R$ и $r$ — радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

Высота конусов, вписанного в пирамиду и описанного около нее, совпадает с высотой самой пирамиды, то есть $h = 5$ м.

Для усеченного конуса, вписанного в правильную четырехугольную усеченную пирамиду, его основания являются кругами, вписанными в квадраты оснований пирамиды.

Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны этого квадрата.

Радиус большего основания конуса ($R_1$) равен половине стороны большего основания пирамиды:

$R_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

Радиус меньшего основания конуса ($r_1$) равен половине стороны меньшего основания пирамиды:

$r_1 = \frac{a_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Теперь можно вычислить объем вписанного усеченного конуса ($V_1$):

$V_1 = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_1 r_1 + r_1^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 5 \cdot (3^2 + 3 \cdot 1 + 1^2) = \frac{5\pi}{3} (9 + 3 + 1) = \frac{5\pi}{3} \cdot 13 = \frac{65\pi}{3}$ м³.

Ответ: $\frac{65\pi}{3}$ м³.

Для усеченного конуса, описанного около правильной четырехугольной усеченной пирамиды, его основания являются кругами, описанными около квадратов оснований пирамиды.

Радиус круга, описанного около квадрата, равен половине диагонали этого квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.

Радиус большего основания конуса ($R_2$) равен половине диагонали большего основания пирамиды:

$R_2 = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ м.

Радиус меньшего основания конуса ($r_2$) равен половине диагонали меньшего основания пирамиды:

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ м.

Вычислим объем описанного усеченного конуса ($V_2$):

$V_2 = \frac{1}{3}\pi h (R_2^2 + R_2 r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 5 \cdot ((3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)$.

Подставим значения: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$; $(3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$; $(\sqrt{2})^2 = 2$.

$V_2 = \frac{5\pi}{3} (18 + 6 + 2) = \frac{5\pi}{3} \cdot 26 = \frac{130\pi}{3}$ м³.

Ответ: $\frac{130\pi}{3}$ м³.