Творческая работа, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Высота триумфальной арки «Мәңгілік ел» равна 20, а ширина - 13 м. По данным рис. 4.41 нужно найти объем арки.

Сначала вычислим объем большого параллелепипеда, а затем от него отнимем сумму объемов малого параллелепипеда и полуцилиндра. Измерения большого параллелепипеда - 20 м, 4м, 13м. $V_{\text{больш. пар.}} = 20 \cdot 13 \cdot 4 = 1040 \text{ м}^3$, $V_{\text{маленьк. пар.}} = 12 \cdot 4 \cdot (13 - 4 - 4) = 240 \text{ м}^3$.

Радиус полуцилиндра: $R = \frac{13 - 4 - 4}{2} = \frac{5}{2} \text{ м.}$ $V_{\text{полуцил.}} = \frac{1}{2} \pi \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 4 = \frac{25\pi}{2} \text{ м}^3$,

Рис. 4.41 $V_{\text{арки}} = 1040 - 240 - \frac{25\pi}{2} \approx 761 \text{ м}^3$.

Чтобы найти объем арки, необходимо из объема большого внешнего параллелепипеда вычесть объем внутреннего проема. Проем, в свою очередь, состоит из двух геометрических тел: малого параллелепипеда снизу и полуцилиндра сверху. Расчет производится пошагово.

1. Вычисление объема большого параллелепипеда ($V_{больш.пар.}$)

Внешний параллелепипед имеет следующие размеры: высота — 20 м, ширина — 13 м, глубина — 4 м. Его объем равен произведению этих трех измерений.

$V_{больш.пар.} = 20 \cdot 13 \cdot 4 = 1040 \, \text{м}^3$.

2. Вычисление объема малого параллелепипеда ($V_{маленьк.пар.}$)

Это прямоугольная часть внутреннего проема. Его высота по условию — 12 м, глубина — 4 м. Ширину проема найдем, вычтя из общей ширины арки толщину двух опор: $13 - 4 - 4 = 5 \, \text{м}$.

$V_{маленьк.пар.} = \text{высота} \cdot \text{ширина} \cdot \text{глубина} = 12 \cdot 5 \cdot 4 = 240 \, \text{м}^3$.

3. Вычисление объема полуцилиндра ($V_{полуцил.}$)

Это арочная часть проема. Объем полуцилиндра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{2} \pi R^2 h$. В данном случае, "высота" цилиндра $h$ — это глубина арки, то есть $h = 4 \, \text{м}$. Радиус $R$ — это половина ширины проема, которая равна 5 м.

$R = \frac{13 - 4 - 4}{2} = \frac{5}{2} \, \text{м}$.

$V_{полуцил.} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \frac{25}{4} \cdot 4 = \frac{25\pi}{2} \, \text{м}^3$.

4. Вычисление итогового объема арки ($V_{арки}$)

Объем арки — это разность между объемом большого параллелепипеда и суммой объемов малого параллелепипеда и полуцилиндра.

$V_{арки} = V_{больш.пар.} - (V_{маленьк.пар.} + V_{полуцил.})$

$V_{арки} = 1040 - (240 + \frac{25\pi}{2})$

$V_{арки} = 1040 - 240 - \frac{25\pi}{2} = 800 - \frac{25\pi}{2} \, \text{м}^3$.

Для получения приближенного значения используем $\pi \approx 3.14159$:

$V_{арки} \approx 800 - \frac{25 \cdot 3.14159}{2} \approx 800 - 39.27 = 760.73 \, \text{м}^3$.

Округляя результат до целого значения, получаем $761 \, \text{м}^3$.

Ответ: $V_{арки} = 800 - \frac{25\pi}{2} \approx 761 \, \text{м}^3$.