Номер 4.99, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.99. 1) Биссектриса, опущенная из вершины $\text{B}$ треугольника $ABC$ делит сторону $\text{AC}$ на отрезки, равные $\text{28}$ и $\text{12}$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB-BC=18$.

2) Стороны $\text{AB}$, $\text{BC}$, $\text{AC}$ треугольника $ABC$ относятся как $2:4:5$. В каком отношении делятся его биссектрисы в точке их пересечения?

1) Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$, опущенная из вершины $B$, делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $DC$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} $

Нам даны длины отрезков 28 и 12. Также дано условие $AB - BC = 18$, из которого следует, что $AB > BC$.

Так как $AB > BC$, то из пропорции следует, что $AD > DC$. Следовательно, отрезок, прилежащий к вершине $A$, равен 28, а отрезок, прилежащий к вершине $C$, равен 12. То есть, $AD = 28$ и $DC = 12$.

Тогда сторона $AC = AD + DC = 28 + 12 = 40$.

Подставим значения длин отрезков в пропорцию:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} $

Отсюда получаем $AB = \frac{7}{3} BC$.

Теперь подставим это выражение в данное нам условие $AB - BC = 18$:

$ \frac{7}{3} BC - BC = 18 $

$ (\frac{7}{3} - 1) BC = 18 $

$ \frac{4}{3} BC = 18 $

$ BC = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 $

Теперь найдем длину стороны $AB$:

$ AB = BC + 18 = 13.5 + 18 = 31.5 $

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон:

$ P_{ABC} = AB + BC + AC = 31.5 + 13.5 + 40 = 45 + 40 = 85 $

Ответ: 85

2) Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $c = AB$, $a = BC$ и $b = AC$. По условию, их длины относятся как $c : a : b = 2 : 4 : 5$. Можно принять, что $c = 2k$, $a = 4k$, $b = 5k$ для некоторого коэффициента $k > 0$.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (инцентре). Эта точка делит каждую биссектрису в определенном отношении. Существует свойство, согласно которому точка пересечения биссектрис делит биссектрису, проведенную, например, из вершины $A$, в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Пусть $AA'$, $BB'$, $CC'$ - биссектрисы треугольника, а $I$ - точка их пересечения. Тогда справедливы следующие соотношения:

1. Для биссектрисы $AA'$ из вершины $A$:

$ \frac{AI}{IA'} = \frac{AB + AC}{BC} = \frac{c+b}{a} $

Подставим значения сторон:

$ \frac{AI}{IA'} = \frac{2k+5k}{4k} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4} $

Таким образом, биссектриса из вершины $A$ делится в отношении 7:4.

2. Для биссектрисы $BB'$ из вершины $B$:

$ \frac{BI}{IB'} = \frac{AB + BC}{AC} = \frac{c+a}{b} $

Подставим значения сторон:

$ \frac{BI}{IB'} = \frac{2k+4k}{5k} = \frac{6k}{5k} = \frac{6}{5} $

Таким образом, биссектриса из вершины $B$ делится в отношении 6:5.

3. Для биссектрисы $CC'$ из вершины $C$:

$ \frac{CI}{IC'} = \frac{BC + AC}{AB} = \frac{a+b}{c} $

Подставим значения сторон:

$ \frac{CI}{IC'} = \frac{4k+5k}{2k} = \frac{9k}{2k} = \frac{9}{2} $

Таким образом, биссектриса из вершины $C$ делится в отношении 9:2.

Ответ: биссектрисы делятся в точке их пересечения в отношениях 7:4, 6:5 и 9:2 (для биссектрис, проведенных из вершин A, B и C соответственно).