Номер 4.98, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.98*. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади, которая вдвое больше площади осевого сечения конуса. Найдите объем конуса, если его радиус равен $\text{R}$.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$ и образующую как $L$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса ($2R$), а высотой — высота конуса ($H$). Площадь осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется по формуле:

$S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

Любое сечение, проходящее через вершину конуса, является равнобедренным треугольником, боковые стороны которого равны образующей конуса $L$. Площадь такого сечения можно выразить через угол $\alpha$ между образующими в сечении:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$

Площадь сечения будет наибольшей, когда $\sin\alpha$ будет максимальным, то есть $\sin\alpha = 1$, что соответствует $\alpha = 90^\circ$. Таким образом, сечение наибольшей площади — это прямоугольный равнобедренный треугольник со сторонами $L, L, L\sqrt{2}$. Его площадь $S_{наиб}$ равна:

$S_{наиб} = \frac{1}{2} L^2$

Такое сечение возможно провести, только если его основание (хорда длиной $L\sqrt{2}$) не превышает диаметр основания конуса ($2R$). То есть должно выполняться условие $L\sqrt{2} \le 2R$, или $L \le R\sqrt{2}$. Если $L > R\sqrt{2}$, то сечением наибольшей площади будет осевое сечение. В условии задачи сказано, что площадь наибольшего сечения вдвое больше площади осевого ($S_{наиб} = 2S_{ос}$), следовательно, осевое сечение не является сечением наибольшей площади, и условие $L \le R\sqrt{2}$ выполняется.

Используем условие задачи $S_{наиб} = 2S_{ос}$:

$\frac{1}{2}L^2 = 2(RH)$

$L^2 = 4RH$

Связь между радиусом, высотой и образующей конуса определяется теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного этими тремя величинами:

$L^2 = H^2 + R^2$

Приравнивая два выражения для $L^2$, получаем уравнение для $H$:

$H^2 + R^2 = 4RH$

$H^2 - 4RH + R^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $H$, считая $R$ параметром:

$H = \frac{4R \pm \sqrt{(-4R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot R^2}}{2} = \frac{4R \pm \sqrt{16R^2 - 4R^2}}{2} = \frac{4R \pm \sqrt{12R^2}}{2} = \frac{4R \pm 2R\sqrt{3}}{2} = R(2 \pm \sqrt{3})$

Получили два возможных значения для высоты: $H_1 = R(2 + \sqrt{3})$ и $H_2 = R(2 - \sqrt{3})$.

Теперь проверим, какое из этих значений удовлетворяет ранее установленному условию $L \le R\sqrt{2}$. Возведем обе части в квадрат: $L^2 \le 2R^2$. Подставим $L^2 = 4RH$:

$4RH \le 2R^2$

$2H \le R$ (так как $R>0$)

$H \le \frac{R}{2}$

Проверим оба корня:

1) $H_1 = R(2 + \sqrt{3}) \approx R(2 + 1.732) = 3.732R$. Это значение больше, чем $R/2$. Следовательно, этот корень не подходит.

2) $H_2 = R(2 - \sqrt{3}) \approx R(2 - 1.732) = 0.268R$. Это значение меньше, чем $R/2$. Следовательно, этот корень является решением.

Итак, высота конуса равна $H = R(2 - \sqrt{3})$.

Теперь найдем объем конуса $V$ по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R(2 - \sqrt{3}) = \frac{\pi R^3(2 - \sqrt{3})}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi R^3(2 - \sqrt{3})}{3}$