Номер 4.91, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.91. Охотник переплавил три шарообразные свинцовые пули диаметром 3 мм в одну шарообразную пулю. Найдите диаметр этой пули.

Для решения задачи воспользуемся принципом сохранения объема: объем новой, большой пули будет равен сумме объемов трех исходных маленьких пуль.

Объем шара (V) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара. Так как диаметр $d = 2r$, то радиус $r = \frac{d}{2}$. Подставим это в формулу объема, чтобы выразить его через диаметр: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6}$.

Пусть $d_1$ – диаметр одной маленькой пули, а $V_1$ – ее объем. По условию, $d_1 = 3$ мм. Тогда объем трех маленьких пуль составляет $3 \cdot V_1 = 3 \cdot \frac{\pi d_1^3}{6} = \frac{\pi d_1^3}{2}$.

Пусть $d_2$ – искомый диаметр большой пули, а $V_2$ – ее объем. $V_2 = \frac{\pi d_2^3}{6}$.

Так как объем большой пули равен сумме объемов трех маленьких, мы можем составить уравнение: $V_2 = 3 \cdot V_1$ $\frac{\pi d_2^3}{6} = \frac{\pi d_1^3}{2}$

Сократим $\pi$ в обеих частях и умножим обе части на 6: $d_2^3 = \frac{6 \cdot d_1^3}{2}$ $d_2^3 = 3d_1^3$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $d_2 = \sqrt[3]{3d_1^3} = d_1\sqrt[3]{3}$.

Подставим известное значение диаметра маленькой пули $d_1 = 3$ мм: $d_2 = 3\sqrt[3]{3}$ мм.

Ответ: $3\sqrt[3]{3}$ мм.