Номер 4.86, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна сумме площадей его оснований, а радиусы оснований равны $\text{r}$ и $\text{R}$. Найдите объем усеченного конуса.

Пусть $h$ - высота усеченного конуса, $R$ и $r$ - радиусы его оснований. Объем усеченного конуса $V$ находится по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Для нахождения объема нам необходимо выразить высоту $h$ через радиусы $R$ и $r$, используя условие задачи.

1. Найдем площадь осевого сечения.

Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной трапецией. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Высота трапеции совпадает с высотой конуса $h$.

Площадь трапеции $S_{сеч}$ вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$.

2. Найдем сумму площадей оснований.

Основания конуса — это круги. Площадь большего основания равна $\pi R^2$, а меньшего — $\pi r^2$. Сумма площадей оснований $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R^2 + r^2)$.

3. Используем условие задачи для нахождения высоты.

По условию, площадь осевого сечения равна сумме площадей оснований: $S_{сеч} = S_{осн}$.

$(R+r)h = \pi(R^2 + r^2)$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = \frac{\pi(R^2 + r^2)}{R+r}$.

4. Найдем объем усеченного конуса.

Подставим полученное выражение для высоты $h$ в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\pi(R^2 + r^2)}{R+r} \right) (R^2 + Rr + r^2)$

Упростим выражение:

$V = \frac{\pi^2 (R^2 + r^2)(R^2 + Rr + r^2)}{3(R+r)}$

Ответ: $V = \frac{\pi^2 (R^2 + r^2)(R^2 + Rr + r^2)}{3(R+r)}$.