Номер 4.79, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.79. Осевое сечение усеченного конуса есть равнобокая трапеция, стороны которой равны 5 см, 10 см, 17 см и 10 см. Найдите его объем.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. В равнобокой трапеции боковые стороны равны. Из данных длин сторон 5 см, 10 см, 17 см и 10 см следует, что боковые стороны трапеции равны 10 см, а параллельные основания — 5 см и 17 см.

Основания трапеции являются диаметрами оснований усеченного конуса ($D$ и $d$), а боковая сторона трапеции — его образующей ($l$). Следовательно, $D = 17$ см, $d = 5$ см, $l = 10$ см.

Радиус большего основания $R = \frac{D}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$ см. Радиус меньшего основания $r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Высота усеченного конуса $h$ совпадает с высотой трапеции. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого отрезка равна полуразности оснований: $\frac{D - d}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$: $l^2 = h^2 + (\frac{D - d}{2})^2$ $10^2 = h^2 + 6^2$ $100 = h^2 + 36$ $h^2 = 100 - 36 = 64$ $h = \sqrt{64} = 8$ см.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $R$, $r$ и $h$ в формулу: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot (8.5^2 + 8.5 \cdot 2.5 + 2.5^2)$ $V = \frac{8\pi}{3} \cdot (72.25 + 21.25 + 6.25)$ $V = \frac{8\pi}{3} \cdot 99.75$ $V = \frac{798\pi}{3}$ $V = 266\pi$ см³.

Ответ: $266\pi$ см³.