Номер 4.74, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74. Решите предыдущую задачу относительно конуса с площадью осевого сечения $\text{S}$ и радиусом $\text{R}$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса, то есть $2R$, а высота треугольника равна высоте конуса $h$. Площадь осевого сечения $S$ задана и вычисляется по формуле площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = R \cdot h$

На основе этого соотношения и заданных величин $S$ и $R$ найдем основные параметры конуса.

Высота конуса

Из формулы площади осевого сечения $S = R \cdot h$ выразим высоту конуса $h$:

$h = \frac{S}{R}$

Ответ: $h = \frac{S}{R}$.

Образующая конуса

Образующая $l$, высота $h$ и радиус основания $R$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник:

$l^2 = h^2 + R^2$

Подставим найденное выражение для $h$:

$l^2 = \left(\frac{S}{R}\right)^2 + R^2 = \frac{S^2}{R^2} + R^2 = \frac{S^2 + R^4}{R^2}$

Тогда образующая равна:

$l = \sqrt{\frac{S^2 + R^4}{R^2}} = \frac{\sqrt{S^2 + R^4}}{R}$

Ответ: $l = \frac{\sqrt{S^2 + R^4}}{R}$.

Объем конуса

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

Подставим в нее выражение для высоты $h$:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot \left(\frac{S}{R}\right) = \frac{1}{3} \pi R S$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R S$.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ находится по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$

Подставим ранее полученное выражение для образующей $l$:

$S_{бок} = \pi R \cdot \frac{\sqrt{S^2 + R^4}}{R} = \pi \sqrt{S^2 + R^4}$

Ответ: $S_{бок} = \pi \sqrt{S^2 + R^4}$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ — это сумма площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Подставим известные выражения:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi \sqrt{S^2 + R^4} = \pi (R^2 + \sqrt{S^2 + R^4})$

Ответ: $S_{полн} = \pi (R^2 + \sqrt{S^2 + R^4})$.