Номер 4.67, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Найдите объемы тел вращения, изображенных на рис. 4.29.

Рис. 4.29

а) Данное тело вращения состоит из цилиндра и конуса, имеющих общее основание.

1. Найдем объем цилиндрической части. Из рисунка видно, что радиус основания цилиндра $r = 4$, а его высота $h_{цил} = 6$. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$

Подставляем значения:

$V_{цил} = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$.

2. Найдем объем конической части. Радиус основания конуса совпадает с радиусом цилиндра, $r = 4$. Образующая конуса $l = 5$. Для нахождения объема конуса нам необходимо найти его высоту $h_{кон}$. Высоту, радиус и образующую конуса связывает теорема Пифагора: $l^2 = h_{кон}^2 + r^2$.

Отсюда находим высоту:

$h_{кон} = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$

Подставляем значения:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi$.

3. Общий объем тела равен сумме объемов цилиндра и конуса.

$V = V_{цил} + V_{кон} = 96\pi + 16\pi = 112\pi$.

Ответ: $112\pi$.

б) Данное тело вращения является усеченным конусом. Его объем можно найти как разность объемов большого конуса (из которого он был получен) и малого конуса (который был отсечен).

1. Рассмотрим малый (отсеченный) конус. Радиус его основания $r = 6$, образующая $l = 10$. Найдем его высоту $h$ по теореме Пифагора:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Объем малого конуса:

$V_{малый} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \pi = 96\pi$.

2. Большой конус подобен малому. Радиус его основания $R = 12$. Образующая усеченного конуса равна 10, значит, образующая большого конуса $L = 10 + 10 = 20$. Из подобия треугольников, образованных высотами, радиусами и образующими, найдем высоту большого конуса $H$.

$\frac{H}{h} = \frac{R}{r} \Rightarrow \frac{H}{8} = \frac{12}{6} = 2 \Rightarrow H = 8 \cdot 2 = 16$.

Высота усеченного конуса $h_{ус} = H - h = 16 - 8 = 8$.

3. Вычислим объем усеченного конуса по формуле:

$V_{ус} = \frac{1}{3} \pi h_{ус} (R^2 + Rr + r^2)$

$V_{ус} = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot (12^2 + 12 \cdot 6 + 6^2) = \frac{8\pi}{3} (144 + 72 + 36) = \frac{8\pi}{3} \cdot 252 = 8\pi \cdot 84 = 672\pi$.

Ответ: $672\pi$.

в) Данное тело вращения — шар. На рисунке указан его диаметр $d=7$.

1. Найдем радиус шара:

$r = \frac{d}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

2. Объем шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Подставим значение радиуса:

$V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{7^3}{2^3} = \frac{4}{3} \pi \frac{343}{8} = \frac{4 \cdot 343 \pi}{3 \cdot 8} = \frac{343 \pi}{3 \cdot 2} = \frac{343\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{343\pi}{6}$.

г) Данное тело вращения состоит из цилиндра и полусферы, имеющих общее основание.

1. Найдем объем цилиндрической части. Из рисунка видно, что радиус основания $r = 5$, а высота цилиндра $h_{цил} = 5$.

Объем цилиндра:

$V_{цил} = \pi r^2 h_{цил} = \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$.

2. Найдем объем полусферы. Радиус полусферы равен радиусу цилиндра, $r = 5$. Объем полусферы составляет половину объема шара с таким же радиусом.

Объем полусферы:

$V_{п/сф} = \frac{1}{2} \cdot V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$.

Подставим значение радиуса:

$V_{п/сф} = \frac{2}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 125 = \frac{250\pi}{3}$.

3. Общий объем тела равен сумме объемов цилиндра и полусферы.

$V = V_{цил} + V_{п/сф} = 125\pi + \frac{250\pi}{3} = \frac{3 \cdot 125\pi}{3} + \frac{250\pi}{3} = \frac{375\pi + 250\pi}{3} = \frac{625\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{625\pi}{3}$.