Номер 4.66, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.66. Найдите объемы конусов, изображенных на рис. 4.28.

Рис. 4.28

Для решения задачи воспользуемся формулой объема конуса $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса. Высота ($h$), радиус ($r$) и образующая ($l$) конуса связаны соотношением по теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

а)

Для первого конуса (слева) даны высота $h = 12$ и образующая $l = 13$. Сначала найдем радиус основания $r$. Из теоремы Пифагора: $r^2 = l^2 - h^2$.

Подставим значения: $r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. Следовательно, радиус $r = \sqrt{25} = 5$.

Теперь вычислим объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$.

Ответ: $100\pi$.

б)

Для второго конуса (в центре) даны диаметр основания $d = 18$ и образующая $l = 30$. Радиус основания равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Теперь найдем высоту конуса $h$. Из теоремы Пифагора: $h^2 = l^2 - r^2$.

Подставим значения: $h^2 = 30^2 - 9^2 = 900 - 81 = 819$. Следовательно, высота $h = \sqrt{819} = \sqrt{9 \cdot 91} = 3\sqrt{91}$.

Теперь вычислим объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 3\sqrt{91} = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 3\sqrt{91} = 81\pi\sqrt{91}$.

Ответ: $81\pi\sqrt{91}$.

в)

Для третьего конуса (справа) известны радиус основания $r = 6$ и образующая $l = 10$. Найдем высоту конуса $h$. Из теоремы Пифагора: $h^2 = l^2 - r^2$.

Подставим значения: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Следовательно, высота $h = \sqrt{64} = 8$.

Теперь вычислим объем конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \cdot \pi = 96\pi$.

Ответ: $96\pi$.