Номер 4.64, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. 1) Отрезок $\text{MN}$ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ и концы этого отрезка расположены на боковых сторонах $\text{AB}$ и $\text{CD}$ соответственно. Отрезок $\text{MN}$ параллелен основаниям трапеции. Найдите $\text{MN}$, если $AD=a$, $BC=b$.

2) Отрезок $\text{PQ}$ параллелен основаниям трапеции $ABCD$, концы отрезка расположены на боковых сторонах $\text{AB}$ и $\text{CD}$ соответственно и пересекает диагональ $\text{AC}$ в точке $\text{L}$, а диагональ $\text{BD}$ в точке $\text{R}$. Найдите $\text{PQ}$, если $AD=a$, $BC=b$ и $PL=LR$.

1) Пусть дана трапеция ABCD, в которой AD и BC — основания, $AD = a$, $BC = b$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Отрезок MN проходит через точку O, параллелен основаниям, и его концы лежат на боковых сторонах AB и CD (M на AB, N на CD).

Рассмотрим треугольники AOD и COB. Они подобны по трём углам:

• $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные углы.
• $∠OAD = ∠OCB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
• $∠ODA = ∠OBC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} = \frac{a}{b}$.

Длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MO и ON.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как MO || BC, треугольник AMO подобен треугольнику ABC. Из подобия следует:$\frac{MO}{BC} = \frac{AO}{AC}$.Зная, что $AC = AO + CO$ и $\frac{AO}{CO} = \frac{a}{b}$ (откуда $CO = \frac{b}{a}AO$), получаем:$AC = AO + \frac{b}{a}AO = AO \cdot (1 + \frac{b}{a}) = AO \cdot \frac{a+b}{a}$.Следовательно, $\frac{AO}{AC} = \frac{a}{a+b}$.Подставим это в формулу для MO:$MO = BC \cdot \frac{AO}{AC} = b \cdot \frac{a}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$.

Теперь найдём длину ON. Рассмотрим треугольник ACD. Так как ON || AD, треугольник CON подобен треугольнику CAD. Из подобия следует:$\frac{ON}{AD} = \frac{CO}{CA}$.Мы знаем, что $\frac{CO}{CA} = \frac{CO}{AO+CO}$. Разделив числитель и знаменатель на CO, получим $\frac{1}{AO/CO + 1}$. Так как $\frac{AO}{CO} = \frac{a}{b}$, то:$\frac{CO}{CA} = \frac{1}{a/b + 1} = \frac{1}{(a+b)/b} = \frac{b}{a+b}$.Подставим это в формулу для ON:$ON = AD \cdot \frac{CO}{CA} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$.

Таким образом, $MO = ON$. Полная длина отрезка MN:$MN = MO + ON = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$.

Ответ:$MN = \frac{2ab}{a+b}$.

2) Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Отрезок PQ параллелен основаниям, его концы P и Q лежат на боковых сторонах AB и CD соответственно. Диагональ AC пересекает PQ в точке L, а диагональ BD — в точке R. По условию $PL = LR$.

Обозначим длину $PL = LR = x$. Тогда $PR = PL + LR = 2x$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как PL || BC, треугольник APL подобен треугольнику ABC. Отсюда следует соотношение:$\frac{PL}{BC} = \frac{AP}{AB}$.Подставив известные значения, получим:$\frac{x}{b} = \frac{AP}{AB}$. (1)

Рассмотрим треугольник ABD. Так как PR || AD (поскольку PQ || AD), то треугольник BPR подобен треугольнику BAD. Отсюда имеем:$\frac{PR}{AD} = \frac{BP}{BA}$.Подставив известные значения, получим:$\frac{2x}{a} = \frac{BP}{BA}$. (2)

Точка P лежит на отрезке AB, поэтому $AP + BP = AB$. Разделив обе части на AB, получим:$\frac{AP}{AB} + \frac{BP}{BA} = 1$.Подставим в это равенство выражения из (1) и (2):$\frac{x}{b} + \frac{2x}{a} = 1$.Вынесем x за скобки:$x \left( \frac{1}{b} + \frac{2}{a} \right) = 1$$x \left( \frac{a+2b}{ab} \right) = 1$Отсюда находим x:$x = \frac{ab}{a+2b}$.

Теперь нам нужно найти полную длину отрезка PQ, которая равна $PQ = PL + LR + RQ = 2x + RQ$. Найдем длину RQ.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как RQ || BC, треугольник DQR подобен треугольнику DBC. Следовательно:$\frac{RQ}{BC} = \frac{DR}{DB}$.Мы знаем, что $DR + RB = DB$, поэтому $\frac{DR}{DB} + \frac{RB}{DB} = 1$, откуда $\frac{DR}{DB} = 1 - \frac{RB}{DB}$.Из подобия треугольников BPR и BAD мы знаем, что $\frac{RB}{DB} = \frac{BP}{BA}$. А из уравнения (2) $\frac{BP}{BA} = \frac{2x}{a}$.Таким образом, $\frac{RB}{DB} = \frac{2x}{a}$.Тогда $\frac{DR}{DB} = 1 - \frac{2x}{a}$.Подставляем это в формулу для RQ:$RQ = BC \cdot \frac{DR}{DB} = b \left( 1 - \frac{2x}{a} \right)$.Теперь подставим найденное значение $x = \frac{ab}{a+2b}$:$RQ = b \left( 1 - \frac{2}{a} \cdot \frac{ab}{a+2b} \right) = b \left( 1 - \frac{2b}{a+2b} \right) = b \left( \frac{a+2b-2b}{a+2b} \right) = b \left( \frac{a}{a+2b} \right) = \frac{ab}{a+2b}$.

Мы получили, что $RQ = x$. Таким образом, $PL = LR = RQ = x$.Полная длина отрезка PQ:$PQ = PL + LR + RQ = x + x + x = 3x$.Подставляем значение x:$PQ = 3 \cdot \frac{ab}{a+2b} = \frac{3ab}{a+2b}$.

Ответ:$PQ = \frac{3ab}{a+2b}$.