Номер 4.59, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.59. Боковые ребра четырехугольной пирамиды равны $\text{b}$, а ее основанием является прямоугольник, одна из сторон которого равна $\text{a}$. Найдите наибольшее из возможных значений объема пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой основанием является прямоугольник $ABCD$, а все боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ равны $b$. Пусть одна из сторон прямоугольника $AB = a$, а другая сторона $BC = x$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Площадь основания (прямоугольника) равна $S_{осн} = a \cdot x$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, вершина $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Гипотенуза $SA = b$, один катет — высота $SO = H$, а другой катет — половина диагонали прямоугольника $OA$.

Найдем диагональ прямоугольника $AC$ по теореме Пифагора из треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + x^2$.

$AC = \sqrt{a^2 + x^2}$.

Тогда $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + x^2}$.

Теперь из треугольника $SOA$ по теореме Пифагора найдем высоту $H$:

$H^2 = SA^2 - OA^2 = b^2 - \left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + x^2}\right)^2 = b^2 - \frac{a^2 + x^2}{4}$.

Для существования такой пирамиды высота должна быть действительным числом, то есть $H^2 > 0$, что приводит к условию $b^2 - \frac{a^2 + x^2}{4} > 0$, или $4b^2 > a^2 + x^2$. Отсюда $x^2 < 4b^2 - a^2$. Так как $x^2 > 0$, то необходимо, чтобы $4b^2 - a^2 > 0$, то есть $2b > a$.

Высота пирамиды равна $H = \sqrt{b^2 - \frac{a^2 + x^2}{4}}$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объема:

$V(x) = \frac{1}{3} (ax) \sqrt{b^2 - \frac{a^2 + x^2}{4}}$.

Чтобы найти наибольшее значение объема, нужно исследовать эту функцию на максимум. Удобнее исследовать на максимум квадрат объема $V^2$, так как это избавляет от корня и не меняет точку максимума, поскольку $V > 0$.

$V^2(x) = \frac{a^2 x^2}{9} \left(b^2 - \frac{a^2 + x^2}{4}\right) = \frac{a^2}{9} \left(b^2 x^2 - \frac{a^2 x^2}{4} - \frac{x^4}{4}\right)$.

$V^2(x) = \frac{a^2}{36} \left( (4b^2 - a^2)x^2 - x^4 \right)$.

Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $0 < x^2 < 4b^2 - a^2$, то $0 < y < 4b^2 - a^2$.

Рассмотрим функцию $f(y) = (4b^2 - a^2)y - y^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее максимум достигается в вершине.

Координата вершины параболы $f(y) = -y^2 + Cy$ (где $C = 4b^2 - a^2$) находится по формуле $y_0 = -\frac{C}{2(-1)} = \frac{C}{2}$.

Таким образом, максимум достигается при $y = \frac{4b^2 - a^2}{2} = 2b^2 - \frac{a^2}{2}$.

Это значение $y = x^2$ удовлетворяет условию $0 < y < 4b^2 - a^2$, так как мы исходим из того, что $2b > a$.

Итак, объем максимален при $x^2 = 2b^2 - \frac{a^2}{2}$.

Найдем максимальное значение квадрата объема, подставив это значение $x^2$ в выражение для $V^2(x)$:

$V_{max}^2 = \frac{a^2}{36} \left( (4b^2 - a^2)\left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right) - \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right)^2 \right)$.

$V_{max}^2 = \frac{a^2}{36} \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right) \left[ (4b^2 - a^2) - \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right) \right]$.

$V_{max}^2 = \frac{a^2}{36} \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right) \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{36} \left(2b^2 - \frac{a^2}{2}\right)^2$.

$V_{max}^2 = \frac{a^2}{36} \left(\frac{4b^2 - a^2}{2}\right)^2 = \frac{a^2(4b^2 - a^2)^2}{36 \cdot 4} = \frac{a^2(4b^2 - a^2)^2}{144}$.

Извлекая квадратный корень, получаем наибольшее значение объема:

$V_{max} = \sqrt{\frac{a^2(4b^2 - a^2)^2}{144}} = \frac{a(4b^2 - a^2)}{12}$.

Ответ: $ \frac{a(4b^2 - a^2)}{12} $.