Номер 4.65, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

4.65. Высота торта 5 см, а диаметр - 30 см (рис. 4.27). Из торта вырезали кусок в форме кругового сектора с центральным углом, равным 30°. Найдите объем этого куска торта.

Рис. 4.27

4.65. Для того чтобы найти объем вырезанного куска торта, сначала определим геометрическую форму торта и куска. Торт имеет форму цилиндра, а вырезанный кусок — форму цилиндрического сектора (часть цилиндра, основанием которой является круговой сектор).

1. Найдем объем всего торта. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цилиндра} = \pi r^2 h$

где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

По условию задачи даны:

Высота торта $h = 5$ см.

Диаметр торта $d = 30$ см.

Найдем радиус основания торта. Радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для объема цилиндра:

$V_{торта} = \pi \cdot (15)^2 \cdot 5 = \pi \cdot 225 \cdot 5 = 1125\pi$ см³.

2. Определим, какую часть от всего торта составляет вырезанный кусок.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Вырезанный кусок имеет центральный угол $30^\circ$. Следовательно, доля, которую составляет этот кусок от всего торта, равна отношению его центрального угла к полному углу окружности:

$\frac{30^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

3. Найдем объем вырезанного куска торта.

Объем куска равен объему всего торта, умноженному на найденную долю:

$V_{куска} = V_{торта} \cdot \frac{1}{12} = 1125\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{1125\pi}{12}$ см³.

Для упрощения ответа сократим дробь $\frac{1125}{12}$. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$\frac{1125 \div 3}{12 \div 3} = \frac{375}{4}$

Таким образом, точный объем куска торта составляет:

$V_{куска} = \frac{375\pi}{4}$ см³.

Этот результат также можно представить в виде десятичной дроби:

$V_{куска} = 93.75\pi$ см³.

Ответ: $ \frac{375\pi}{4} $ см³.