Номер 4.63, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.63*. В призме $ABCA_1B_1C_1$ про- ведены два сечения, проходящие через вершины $A, B, C_1$ и $A_1, B_1,$C. Эти сечения делят призму на 4 части, объем меньшей из которых равен $\text{V}$. Найдите объем призмы (рис. 4.20).

Рис. 4.20

Пусть $V_п$ — объем призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объем призмы вычисляется по формуле $V_п = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания (например, $S_{ABC}$), а $h$ — высота призмы.

Первое сечение, проходящее через вершины $A, B, C_1$, отсекает от призмы пирамиду $C_1ABC$. Основанием этой пирамиды является основание призмы $ABC$, а ее высота совпадает с высотой призмы $h$. Объем этой пирамиды равен: $V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} V_п$.

Второе сечение, проходящее через вершины $A_1, B_1, C$, отсекает от призмы пирамиду $CA_1B_1C_1$. Основанием этой пирамиды является другое основание призмы $A_1B_1C_1$, площадь которого равна $S_{ABC}$, а ее высота также совпадает с высотой призмы $h$. Объем этой пирамиды равен: $V_{CA_1B_1C_1} = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} V_п$.

Эти два сечения, являющиеся плоскостями $(ABC_1)$ и $(A_1B_1C)$, делят призму на четыре части.

Центральная часть представляет собой пересечение двух упомянутых пирамид $C_1ABC$ и $CA_1B_1C_1$. На рисунке видно, что эта центральная часть является тетраэдром $CKNC_1$. Точка $K$ — точка пересечения диагоналей $AC_1$ и $A_1C$ боковой грани $ACC_1A_1$. Точка $N$ — точка пересечения диагоналей $BC_1$ и $B_1C$ боковой грани $BCC_1B_1$.

Остальные три части — это части исходных пирамид, оставшиеся после вычитания из них их общей части (тетраэдра $CKNC_1$), и часть призмы, не принадлежащая ни одной из пирамид. Пусть $v_{центр} = V_{CKNC_1}$. Тогда объемы четырех частей призмы можно выразить через $V_п$ и $v_{центр}$:

• $v_1 = v_{центр}$
• $v_2 = V_{C_1ABC} - v_{центр} = \frac{1}{3}V_п - v_{центр}$
• $v_3 = V_{CA_1B_1C_1} - v_{центр} = \frac{1}{3}V_п - v_{центр}$
• $v_4 = V_п - (v_1+v_2+v_3) = V_п - (v_{центр} + 2(\frac{1}{3}V_п - v_{центр})) = V_п - \frac{2}{3}V_п + v_{центр} = \frac{1}{3}V_п + v_{центр}$

Найдем объем центрального тетраэдра $v_{центр}$. Так как $K$ и $N$ являются точками пересечения диагоналей параллелограммов (боковых граней), они делят эти диагонали пополам. Можно показать (например, с помощью метода координат или аффинных преобразований), что объем тетраэдра $CKNC_1$ составляет $\frac{1}{12}$ от объема всей призмы.

$v_{центр} = \frac{1}{12} V_п$.

Теперь мы можем вычислить объемы всех четырех частей в долях от $V_п$:

• $v_1 = \frac{1}{12} V_п$
• $v_2 = v_3 = \frac{1}{3}V_п - \frac{1}{12}V_п = \frac{4-1}{12}V_п = \frac{3}{12}V_п = \frac{1}{4}V_п$
• $v_4 = \frac{1}{3}V_п + \frac{1}{12}V_п = \frac{4+1}{12}V_п = \frac{5}{12}V_п$

Сравнивая полученные объемы: $\frac{1}{12}V_п < \frac{3}{12}V_п < \frac{5}{12}V_п$. Наименьший объем равен $\frac{1}{12}V_п$. По условию задачи, объем меньшей части равен $V$. Следовательно, $V = \frac{1}{12} V_п$.

Отсюда находим объем призмы: $V_п = 12V$.

Ответ: $12V$