Номер 4.58, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.58. Объем усеченной пирамиды равен $\text{V}$, а площади ее оснований - $S_1$ и $S_2$. Найдите объем целой пирамиды.

Пусть $V_{full}$ – объем целой пирамиды, а $V_{small}$ – объем малой (отсеченной) пирамиды, которая дополняет усеченную пирамиду до целой. Пусть $S_1$ – площадь основания целой пирамиды, а $S_2$ – площадь основания малой пирамиды. Соответственно, $H$ – высота целой пирамиды, а $h_{small}$ – высота малой пирамиды.

Объем усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов целой и малой пирамид: $V = V_{full} - V_{small}$

Малая пирамида подобна целой пирамиде. Отношение площадей оснований подобных пирамид равно квадрату коэффициента подобия, которым в данном случае является отношение их высот: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{h_{small}}{H}\right)^2$

Из этого следует, что отношение высот равно: $\frac{h_{small}}{H} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $\frac{V_{small}}{V_{full}} = \left(\frac{h_{small}}{H}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}\right)^3 = \frac{S_2\sqrt{S_2}}{S_1\sqrt{S_1}}$

Из этого соотношения выразим объем малой пирамиды через объем целой: $V_{small} = V_{full} \cdot \frac{S_2\sqrt{S_2}}{S_1\sqrt{S_1}}$

Теперь подставим это выражение в формулу для объема усеченной пирамиды: $V = V_{full} - V_{full} \cdot \frac{S_2\sqrt{S_2}}{S_1\sqrt{S_1}}$

Вынесем $V_{full}$ за скобки и преобразуем выражение: $V = V_{full} \left(1 - \frac{S_2\sqrt{S_2}}{S_1\sqrt{S_1}}\right)$ $V = V_{full} \left(\frac{S_1\sqrt{S_1} - S_2\sqrt{S_2}}{S_1\sqrt{S_1}}\right)$

Наконец, выразим искомый объем целой пирамиды $V_{full}$: $V_{full} = V \cdot \frac{S_1\sqrt{S_1}}{S_1\sqrt{S_1} - S_2\sqrt{S_2}}$

Ответ: $V_{full} = V \frac{S_1\sqrt{S_1}}{S_1\sqrt{S_1} - S_2\sqrt{S_2}}$