Номер 4.53, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.53. Основанием прямой призмы является прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом, равным 3 см. Площадь сечения, проходящего через катет нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, равна $7,5 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Рис. 4.18

Пусть дана прямая призма $ABCA'B'C'$, основанием которой ($ABC$) является прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Катеты равны 3 см: $AC = BC = 3$ см. Обозначим высоту призмы как $H$.

1. Нахождение площади основания.

Площадь основания $S_{осн}$ равна площади прямоугольного треугольника $ABC$. Она вычисляется как половина произведения его катетов.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5 \text{ см}^2$.

2. Анализ сечения и нахождение высоты призмы.

Согласно условию, сечение проходит через катет нижнего основания (например, $BC$) и противоположную вершину верхнего основания. В треугольнике основания $ABC$ катету $BC$ противолежит вершина $A$. Соответствующая ей вершина в верхнем основании — $A'$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A'BC$.

Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $CC'$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости ($CC' \perp BC$). Также из условия известно, что в основании $AC \perp BC$.

Так как прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC'$) в плоскости боковой грани $ACC'A'$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $BC$ перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой $A'C$.

Это означает, что угол $\angle A'CB = 90^\circ$, и сечение $A'BC$ является прямоугольным треугольником с катетами $BC$ и $A'C$.

Площадь этого сечения по условию равна $7,5 \text{ см}^2$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A'C \implies 7,5 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot A'C$

Отсюда находим $A'C$:

$A'C = \frac{7,5 \cdot 2}{3} = 5 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $A'AC$. Он прямоугольный, так как призма прямая, и ее боковое ребро $AA'$ (равное высоте $H$) перпендикулярно основанию и, следовательно, стороне $AC$. По теореме Пифагора:

$A'C^2 = AC^2 + AA'^2$

$5^2 = 3^2 + H^2$

$25 = 9 + H^2$

$H^2 = 16 \implies H = 4 \text{ см}$.

3. Вычисление объема призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$.

$V = 4,5 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 18 \text{ см}^3$.

Ответ: $18 \text{ см}^3$.