Номер 4.57, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Площади трех взаимно перпендикулярных граней прямоугольного параллелепипеда равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Докажите, что его объем вычисляется по формуле $V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

Три взаимно перпендикулярные грани — это грани, имеющие общую вершину. Их площади, которые по условию равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$, можно выразить через произведения соответствующих измерений. Без ограничения общности, запишем:

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = b \cdot c$

$S_3 = a \cdot c$

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле как произведение его трех измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Теперь найдем произведение площадей этих трех граней:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c)$

Сгруппируем множители в правой части равенства:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c) = a^2 b^2 c^2$

Полученное выражение можно представить в виде квадрата произведения измерений:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b \cdot c)^2$

Поскольку объем $V = a \cdot b \cdot c$, мы можем подставить $V$ в это уравнение:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$

Чтобы выразить объем $V$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. Так как объем $V$ (как и измерения $a, b, c$) является положительной величиной, мы берем арифметический (положительный) корень:

$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Таким образом, мы доказали, что объем прямоугольного параллелепипеда действительно вычисляется по данной формуле. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.