Номер 4.60, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.60. Высота усеченной пирамиды равна $\text{h}$, а площадь ее срединного сечения равна $\text{S}$. В каких пределах может меняться объем усеченной пирамиды?

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усеченной пирамиды. Высота усеченной пирамиды равна $h$. Объем усеченной пирамиды $V$ выражается формулой: $V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

Срединное сечение — это сечение, проходящее через середину высоты параллельно основаниям. Площадь такого сечения $S$ связана с площадями оснований $S_1$ и $S_2$ соотношением: $\sqrt{S} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$. Из этого соотношения получаем: $2\sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}$.

Выразим объем $V$ через заданные величины $h$ и $S$. Для этого преобразуем выражение для объема. Заметим, что $S_1 + S_2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 - 2\sqrt{S_1 S_2} = (2\sqrt{S})^2 - 2\sqrt{S_1 S_2} = 4S - 2\sqrt{S_1 S_2}$. Подставим это в формулу для объема: $V = \frac{h}{3}((4S - 2\sqrt{S_1 S_2}) + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{h}{3}(4S - \sqrt{S_1 S_2})$.

Теперь задача сводится к нахождению диапазона значений для произведения $\sqrt{S_1 S_2}$. Пусть $x = \sqrt{S_1}$ и $y = \sqrt{S_2}$. Так как площади не могут быть отрицательными, $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Условие для срединного сечения принимает вид $x+y=2\sqrt{S}$. Нам нужно найти пределы изменения величины $xy$.

Согласно неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$: $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$. Подставляя $x+y=2\sqrt{S}$, получаем: $\sqrt{xy} \le \frac{2\sqrt{S}}{2} = \sqrt{S}$. Возводя обе части в квадрат, находим: $xy \le S$. Равенство достигается, когда $x=y$, что означает $x=y=\sqrt{S}$. В этом случае $S_1 = S_2 = S$. Геометрически это соответствует случаю, когда усеченная пирамида является призмой. Таким образом, максимальное значение $\sqrt{S_1 S_2}$ равно $S$.

Минимальное значение $\sqrt{S_1 S_2}$ равно 0. Это значение достигается, когда одно из оснований имеет нулевую площадь, например, $S_2 = 0$ (и, следовательно, $y=0$). В этом случае $x = 2\sqrt{S}$, что дает $S_1 = (2\sqrt{S})^2 = 4S$. Геометрически это предельный случай, когда усеченная пирамида вырождается в полную пирамиду.

Итак, величина $\sqrt{S_1 S_2}$ может принимать любое значение в интервале $[0, S]$.

Теперь найдем пределы изменения объема $V = \frac{h}{3}(4S - \sqrt{S_1 S_2})$. Поскольку $V$ является линейной убывающей функцией от $\sqrt{S_1 S_2}$, ее минимальное значение будет достигаться при максимальном значении $\sqrt{S_1 S_2}$, а максимальное — при минимальном.

Минимальный объем $V_{min}$ достигается при $\sqrt{S_1 S_2} = S$ (случай призмы): $V_{min} = \frac{h}{3}(4S - S) = \frac{h}{3}(3S) = hS$.

Максимальный объем $V_{max}$ достигается при $\sqrt{S_1 S_2} = 0$ (случай полной пирамиды): $V_{max} = \frac{h}{3}(4S - 0) = \frac{4}{3}hS$.

Таким образом, объем усеченной пирамиды может изменяться в пределах от $hS$ до $\frac{4}{3}hS$.

Ответ: Объем усеченной пирамиды $V$ может принимать значения в пределах $hS \le V \le \frac{4}{3}hS$.