Номер 4.61, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. Найдите наибольшее значение объемов треугольных призм, вписанных в цилиндр высотой $\text{h}$ и радиусом $\text{R}$.

Объем $V$ любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

В нашем случае рассматривается треугольная призма, вписанная в цилиндр. Это означает, что основаниями призмы являются два равных треугольника, вершины которых лежат на окружностях оснований цилиндра. Высота такой призмы совпадает с высотой цилиндра.

Таким образом, высота призмы $H$ равна высоте цилиндра $h$. Основание призмы — это треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$ (основание цилиндра).

Формула для объема призмы принимает вид: $V = S_{треуг} \cdot h$.

Так как высота $h$ и радиус $R$ являются заданными постоянными величинами, объем $V$ призмы зависит только от площади ее основания $S_{треуг}$. Чтобы найти наибольшее значение объема, необходимо найти наибольшее возможное значение площади треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$.

Из всех треугольников, которые можно вписать в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный (равносторонний) треугольник.

Найдем площадь такого треугольника. Пусть его сторона равна $a$. Связь между стороной равностороннего треугольника и радиусом $R$ описанной около него окружности задается формулой:

$a = R\sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу выражение для стороны $a$ через радиус $R$:

$S_{max} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Это и есть наибольшая возможная площадь основания призмы. Теперь можем вычислить наибольший объем призмы, умножив эту площадь на высоту $h$:

$V_{max} = S_{max} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2h$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2h$.