Номер 4.55, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Бак имеет форму прямого параллелепипеда, основанием которого служит квадрат со стороной, равной 18, а боковое ребро равно 42. Когда бак наклонили вдоль ребра нижнего основания на $30^\circ$, то вода в нем имела такую форму, как показано на рис. 4.19. Найдите объем воды в баке.

Рис. 4.19

Объем воды в баке представляет собой объем прямой треугольной призмы. Основанием этой призмы является прямоугольный треугольник, а высотой (длиной) призмы является ребро основания бака, вдоль которого его не наклоняли.

Обозначим размеры бака: основание – квадрат со стороной $a=18$, боковое ребро (высота) $H=42$. Бак наклонили вдоль ребра нижнего основания, значит, длина призмы, образованной водой, равна стороне квадрата $L=a=18$.

Рассмотрим поперечное сечение бака. Вода в сечении образует прямоугольный треугольник. Один катет этого треугольника лежит на основании бака, его длина равна стороне основания $a=18$. Другой катет, обозначим его $h$, является высотой уровня воды вдоль боковой стенки. Угол наклона бака равен $30^{\circ}$. Этот угол равен углу между поверхностью воды (которая горизонтальна) и дном бака. Таким образом, в прямоугольном треугольнике, образованном водой в сечении, отношение катетов связано через тангенс угла $30^{\circ}$:

$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{a}$

Отсюда найдем высоту уровня воды $h$:

$h = a \cdot \tan(30^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$

Так как $h = 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392$, что меньше бокового ребра $42$, вода не выливается через верхний край.

Теперь найдем площадь основания треугольной призмы (площадь поперечного сечения воды):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6\sqrt{3} = 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$

Объем воды в баке равен произведению площади основания призмы на ее длину $L$:

$V = S_{осн} \cdot L = 54\sqrt{3} \cdot 18$

Вычислим произведение:

$54 \cdot 18 = 54 \cdot (20 - 2) = 1080 - 108 = 972$

Таким образом, объем воды равен:

$V = 972\sqrt{3}$

Ответ: $972\sqrt{3}$