Номер 4.48, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Основанием призмы является правильный треугольник. Основанием высоты призмы, проведенной из вершины верхнего основания, является центр нижнего основания. Боковые ребра призмы образуют с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Найдите объем призмы, если ее высота равна 4 см (рис. 4.17).

Рис. 4.17

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы.

По условию, высота призмы $H = 4$ см. Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Чтобы найти объем, нам необходимо вычислить площадь этого треугольника.

Пусть $A_1B_1C_1$ - верхнее основание призмы, а $ABC$ - нижнее. Высота, проведенная из вершины $A_1$, опускается в центр нижнего основания $O$. Таким образом, $A_1O$ - это высота призмы, и $A_1O = H = 4$ см. Так как $A_1O$ является высотой, она перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Боковые ребра призмы образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Рассмотрим боковое ребро $A_1A$. Угол между ребром $A_1A$ (которое является наклонной к плоскости $ABC$) и самой плоскостью $ABC$ - это угол между наклонной $A_1A$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $A_1A$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$. Следовательно, угол $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA$. Он является прямоугольным, так как $A_1O$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, а значит, и к любой прямой в этой плоскости, включая $AO$. Таким образом, $\angle A_1OA = 90^\circ$. В этом треугольнике мы знаем катет $A_1O = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle OA_1A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle A_1OA$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AO = A_1O = 4$ см.

Точка $O$ - центр правильного треугольника $ABC$. Расстояние от центра правильного треугольника до его вершины является радиусом $R$ описанной около него окружности. Таким образом, $R = AO = 4$ см.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ соотношением $a = R\sqrt{3}$. Подставив наше значение $R$, найдем сторону основания $a$:

$a = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания $S_{осн}$ по формуле площади правильного треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см².

Наконец, находим объем призмы, умножая площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см³.