Номер 4.44, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны $\text{a}$, а площадь большого диагонального сечения – $\text{S}$. Найдите объем призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести правильных треугольников, на которые он разбивается своими большими диагоналями. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь одного правильного треугольника со стороной $a$ равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь основания призмы (шестиугольника) равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем высоту призмы $h$. Большое диагональное сечение правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольник. Одна его сторона — это высота призмы $h$, а другая — большая диагональ основания $d$.

Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ соединяет две противоположные вершины и ее длина равна $d = 2a$.

Площадь этого сечения, по условию, равна $S$. Таким образом, мы можем записать:

$S = d \cdot h = 2a \cdot h$.

Из этого уравнения выразим высоту $h$:

$h = \frac{S}{2a}$.

3. Теперь мы можем найти объем призмы, подставив найденные значения $S_{осн}$ и $h$ в формулу для объема:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{S}{2a}$.

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{3a S\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{4}aS$.