Номер 4.42, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42 Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 15 см, а расстояние между ее боковыми ребрами – 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы.

Объем наклонной призмы $V$ можно вычислить по формуле $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы.

Согласно условию задачи, длина бокового ребра $l = 15$ см. Расстояния между боковыми ребрами призмы, которые равны 26 см, 25 см и 17 см, являются сторонами ее перпендикулярного сечения. Таким образом, перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $a = 26$ см, $b = 25$ см и $c = 17$ см.

Для нахождения объема призмы сначала необходимо рассчитать площадь этого треугольника ($S_{перп}$). Поскольку известны длины всех трех сторон, для вычисления площади можно использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26 + 25 + 17}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона, чтобы найти площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$:

$S_{перп} = \sqrt{34 \cdot (34-26) \cdot (34-25) \cdot (34-17)} = \sqrt{34 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 17}$.

Для удобства вычислений разложим числа под корнем на множители:

$S_{перп} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot (2^3) \cdot 3^2 \cdot 17} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 17^2} = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 17)^2}$.

Извлекая квадратный корень, получаем площадь:

$S_{перп} = 2^2 \cdot 3 \cdot 17 = 4 \cdot 3 \cdot 17 = 12 \cdot 17 = 204$ см$^2$.

Зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, можем найти объем призмы:

$V = S_{перп} \cdot l = 204 \text{ см}^2 \cdot 15 \text{ см} = 3060 \text{ см}^3$.

Ответ: $3060 \text{ см}^3$.