Номер 4.36, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Одна грань наклонной треугольной призмы есть ромб с диагоналями, равными 3 см и 4 см, и она перпендикулярна плоскости основания. Чему равен объем призмы, если ее основание есть равносторонний треугольник?

Для нахождения объема наклонной призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение стороны основания призмы

По условию, одна из боковых граней призмы является ромбом, а основание — равносторонний треугольник. Это значит, что сторона ромба совпадает со стороной основания. Обозначим эту сторону как $a$. Диагонали ромба равны $d_1 = 3$ см и $d_2 = 4$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сторону ромба $a$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей. По теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $a = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2} = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$ см. Таким образом, сторона основания (равностороннего треугольника) равна $a = 2.5$ см.

2. Нахождение площади основания призмы

Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $a = 2.5$ см. Площадь равностороннего треугольника $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Для удобства вычислений представим сторону $a$ в виде дроби $a = \frac{5}{2}$ см. $S_{осн} = \frac{(\frac{5}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{25}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{16}$ см$^2$.

3. Нахождение высоты призмы

В условии сказано, что грань-ромб перпендикулярна плоскости основания. Если одна плоскость (грань) перпендикулярна другой плоскости (основанию), то перпендикуляр, проведенный в плоскости грани к линии их пересечения, является перпендикуляром ко всей плоскости основания. Линия пересечения — это общая сторона ромба и основания. Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте ромба $h_{ромба}$, проведенной к этой стороне. Площадь ромба можно вычислить через его диагонали: $S_{ромба} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ см$^2$. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$. Отсюда выразим высоту ромба, которая и является высотой призмы $H$: $H = h_{ромба} = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{6}{2.5} = \frac{6}{5/2} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

4. Нахождение объема призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{25\sqrt{3}}{16} \cdot 2.4 = \frac{25\sqrt{3}}{16} \cdot \frac{12}{5}$. Произведем вычисления, сокращая дробь: $V = \frac{25 \cdot 12 \cdot \sqrt{3}}{16 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3) \cdot \sqrt{3}}{(4 \cdot 4) \cdot 5} = \frac{5 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

Ответ: $ \frac{15\sqrt{3}}{4} $ см$^3$.