Номер 4.32, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. Одна из сторон треугольника, являющегося основанием прямой призмы, равна 2 м, а две другие стороны - 3 м. Боковое ребро призмы равно 4 м. Ребро куба, имеющее равные объемы с данной призмой, равно $2\sqrt[6]{2}$ м. Докажите это.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо вычислить объем призмы и объем куба, а затем сравнить полученные значения.

1. Вычисление объема призмы ($V_{призмы}$)

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы (длина бокового ребра).

Основанием призмы является треугольник со сторонами $a = 2$ м, $b = 3$ м, и $c = 3$ м. Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$ м.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ м².

Высота призмы (боковое ребро) дана по условию: $H = 4$ м.

Теперь можем найти объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}$ м³.

2. Вычисление объема куба ($V_{куба}$)

Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a_{куба}^3$, где $a_{куба}$ — длина ребра куба.

По условию, ребро куба $a_{куба} = 2\sqrt[6]{2}$ м.

Найдем объем куба:

$V_{куба} = (2\sqrt[6]{2})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[6]{2})^3 = 8 \cdot (2^{1/6})^3 = 8 \cdot 2^{3/6} = 8 \cdot 2^{1/2} = 8\sqrt{2}$ м³.

3. Сравнение объемов

Мы получили, что объем призмы $V_{призмы} = 8\sqrt{2}$ м³, и объем куба $V_{куба} = 8\sqrt{2}$ м³.

Поскольку $V_{призмы} = V_{куба}$, утверждение о том, что куб и призма имеют равные объемы, является верным.

Ответ: Объем призмы равен $S_{осн} \cdot H = 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}$ м³. Объем куба с ребром $2\sqrt[6]{2}$ м равен $(2\sqrt[6]{2})^3 = 8\sqrt{2}$ м³. Так как $8\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$, объемы фигур равны, что и требовалось доказать.