Номер 4.29, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Площадь основания правильной треугольной призмы равна $12\sqrt{3}$. Найдите объем призмы, если ее высота в два раза больше стороны основания.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, площадь основания $S_{осн} = 12\sqrt{3}$. Приравняем формулу площади и данное значение, чтобы найти сторону основания $a$:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\frac{a^2}{4} = 12$

Отсюда $a^2 = 12 \cdot 4 = 48$.

Тогда сторона основания $a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

По условию, высота призмы $h$ в два раза больше стороны основания $a$:

$h = 2a = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 12\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 12 \cdot 8 \cdot (\sqrt{3})^2 = 96 \cdot 3 = 288$.

Ответ: 288.